Questão 141 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas diretamente proporcionais (proporcionalidade composta)
• ⚡ Nível: Médio — o texto é longo e exige traduzir duas frases em duas fórmulas distintas, sem errar qual variável fica ao quadrado em cada uma
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de uma situação-problema com grandezas diretamente proporcionais compostas (Competência de Área 5 do ENEM)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a força de ataque do jogador atacante e a força de defesa do jogador atacado, e encontre a diferença entre elas."
• Palavras-chave decisivas: diretamente proporcional, quadrado, força de ataque do desafiante × força de defesa do desafiado
• Armadilha típica: trocar qual variável é elevada ao quadrado em cada fórmula (nível ou experiência), ou comparar as forças erradas — por exemplo, ataque contra ataque, ou as duas forças do mesmo jogador — em vez de seguir exatamente a regra descrita: ataque de quem ataca contra defesa de quem é atacado.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar duas leis de proporcionalidade composta a partir de um texto, calibrar as constantes de proporcionalidade com um caso conhecido (nível 1, experiência 1) e aplicar essas fórmulas na ordem correta indicada pela regra do jogo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Proporcionalidade direta composta: se uma grandeza y é diretamente proporcional a duas outras, a e b, então y = k·a·b, onde k é uma constante fixa que não muda de jogador para jogador.
• Determinação da constante k: para descobrir o valor de k, basta usar um caso particular já conhecido — aqui, o "jogador inicial" (nível 1, experiência 1) — e substituir na fórmula, isolando k.
• Tradução cuidadosa de texto para fórmula: "proporcional ao nível e ao quadrado da experiência" significa nível¹ × experiência²; "proporcional à experiência e ao quadrado do nível" significa experiência¹ × nível². Trocar essa ordem é o erro mais comum da questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a força de defesa de cada jogador é diretamente proporcional ao seu nível e ao quadrado de sua experiência" → Fd = k_d · nível · experiência²
• Evidência 2: "sua força de ataque é diretamente proporcional à sua experiência e ao quadrado do seu nível" → Fa = k_a · experiência · nível²
• Evidência 3: "iniciam o jogo no nível 1 com experiência 1 e possuem força de ataque 2 e de defesa 1" → dado que calibra as constantes k_a e k_d
• Evidência 4: "Compara-se então a força de ataque do desafiante com a força de defesa do desafiado" → o confronto correto é sempre Fa(atacante) vs Fd(atacado), nunca outra combinação
• Síntese: com as duas fórmulas calibradas por meio do jogador inicial, o problema se resume a calcular a força de ataque de J1 (nível 4, experiência 5) e a força de defesa de J2 (nível 2, experiência 6), subtraindo a segunda da primeira.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar as fórmulas gerais

Chamando de n o nível e de e a experiência de um jogador qualquer:

• Fd(n, e) = k_d · n · e²
• Fa(n, e) = k_a · e · n²

Subpasso 4.2 — Calibrar as constantes com o jogador inicial

O enunciado dá o caso n = 1, e = 1, com Fa = 2 e Fd = 1:

• Fa(1,1) = k_a · 1 · 1² = k_a = 2 → k_a = 2
• Fd(1,1) = k_d · 1 · 1² = k_d = 1 → k_d = 1

Logo, as fórmulas ficam completamente definidas:

• Fa(n, e) = 2 · e · n²
• Fd(n, e) = n · e²

Subpasso 4.3 — Aplicar aos jogadores do confronto

J1 é o atacante (nível 4, experiência 5); J2 é o desafiado (nível 2, experiência 6). Pela regra do jogo, é preciso comparar a força de ataque de J1 com a força de defesa de J2:

• Fa(J1) = 2 · 5 · 4² = 2 · 5 · 16 = 160
• Fd(J2) = 1 · 2 · 6² = 2 · 36 = 72

Subpasso 4.4 — Calcular a diferença pedida

Diferença = Fa(J1) − Fd(J2) = 160 − 72 = 88

Subpasso 4.5 — Verificação

O valor 88 é exatamente o que aparece em uma das alternativas, e faz sentido com a narrativa: como Fa(J1) = 160 > Fd(J2) = 72, J1 realmente vence o confronto, e a diferença entre essas duas forças específicas — ataque de quem ataca menos defesa de quem é atacado — é 88.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Para entender por que cada alternativa aparece, vale calcular as quatro forças envolvidas nos dois jogadores:

• Fa(J1) = 160 · Fd(J1) = 1·4·5² = 100 · Fa(J2) = 2·6·2² = 48 · Fd(J2) = 72

Cada alternativa incorreta corresponde a uma combinação equivocada entre essas quatro grandezas, diferente da única combinação que a regra do jogo exige (ataque do atacante menos defesa do atacado).

A) 112.

❌ Incorreta: 112 = Fa(J1) − Fa(J2) = 160 − 48. Esse valor surge de comparar a força de ataque dos dois jogadores entre si, ignorando que a regra do confronto exige comparar o ataque do desafiante com a defesa do desafiado, não ataque com ataque.

B) 88.

✅ Correta: 88 = Fa(J1) − Fd(J2) = 160 − 72, exatamente a comparação exigida pela regra do jogo (força de ataque do desafiante menos força de defesa do desafiado), com as duas constantes de proporcionalidade calibradas corretamente pelo jogador inicial.

C) 60.

❌ Incorreta: 60 = Fa(J1) − Fd(J1) = 160 − 100. Esse resultado aparece quando se comparam as duas forças do próprio desafiante (ataque e defesa de J1) entre si, sem nunca trazer nenhum dado do jogador desafiado J2 para o cálculo — um erro de não usar as grandezas do adversário, que é quem deveria ser desafiado na comparação.

D) 28.

❌ Incorreta: 28 = Fd(J1) − Fd(J2) = 100 − 72. Esse valor vem de comparar as forças de defesa dos dois jogadores entre si, quando na verdade a regra pede a força de ataque do desafiante contra a força de defesa do desafiado.

E) 24.

❌ Incorreta: 24 = Fd(J2) − Fa(J2) = 72 − 48. Esse resultado usa apenas dados do jogador desafiado (J2), sem trazer nenhuma grandeza do desafiante J1 para a conta, invertendo completamente a lógica de quem ataca e quem defende no confronto.

🏆 Gabarito: B — a única comparação compatível com a regra do jogo é a força de ataque do desafiante (J1) menos a força de defesa do desafiado (J2), que resulta em 160 − 72 = 88.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa B é a única que nasce da combinação correta de grandezas — força de ataque de quem ataca (J1) menos força de defesa de quem é atacado (J2) —, com as constantes de proporcionalidade calibradas pelo caso-base do jogador inicial (nível 1, experiência 1).
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma criar situações-problema (jogos, receitas, física simplificada) em que o aluno precisa extrair de um texto duas ou mais relações de proporcionalidade direta ou composta, descobrir a constante com um caso particular e depois aplicar a fórmula a um caso novo — sempre prestando atenção em qual grandeza é elevada ao quadrado.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "y é diretamente proporcional a a e ao quadrado de b", escreva imediatamente y = k·a·b² antes de qualquer cálculo, e use um caso conhecido do próprio texto para encontrar k — isso evita confundir qual variável recebe o expoente.
• Dica de eliminação rápida: releia a frase que define a regra do confronto ("compara-se a força de ataque do desafiante com a força de defesa do desafiado") e identifique, entre as alternativas, apenas aquela que resulta exatamente dessa dupla (ataque do atacante, defesa do atacado); resultados que vêm de comparar duas forças do mesmo jogador ou duas forças de mesmo tipo (ataque com ataque, defesa com defesa) podem ser descartados de imediato.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de física (força gravitacional, lei de Coulomb) e em problemas de escala/densidade que usam proporcionalidade composta — vale revisar esses casos clássicos para fixar o padrão y = k·a·b^n.