Questão 167 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (média, mediana e moda) aplicada a um problema de raciocínio lógico
• ⚡ Nível: Médio — exige perceber que a mediana, não a média nem a moda, é o critério que separa os grupos, e usar o "um a mais" para saber de que lado fica quem tem altura igual à mediana
• 🎯 Tema/Habilidade: Medidas de tendência central (mediana como valor central de um conjunto ordenado) — leitura e interpretação de dados estatísticos
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Usando média, mediana e moda das alturas da turma, descubra em qual grupo — basquete (mais altos) ou futebol — cada um dos quatro alunos P, J, F e M jogou."
• Palavras-chave decisivas: mais altos, uma pessoa a mais, mediana
• Armadilha típica: usar a média (1,65 m) ou a moda (1,70 m) como "linha de corte" entre os grupos — nenhuma das duas representa necessariamente o aluno que fica no meio da fila de alturas.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar qual medida estatística serve de fronteira entre os grupos e aplicá-la às quatro alturas dadas (1,65 / 1,66 / 1,67 / 1,68 m).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média: soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Não indica posição, apenas um "equilíbrio" numérico que pode ser puxado por valores extremos.
• Mediana: valor que ocupa exatamente o meio de uma lista ordenada. Com número ímpar de elementos, a mediana é o elemento que fica sozinho no centro, deixando metade dos dados abaixo e metade acima.
• Moda: valor que mais se repete no conjunto — sem relação necessária com posição central.
• Grupos assimétricos (n e n+1): quando um grupo tem "uma pessoa a mais" que o outro e juntos formam a turma toda, o total é ímpar, e o aluno que está na posição central (a mediana) pertence obrigatoriamente ao grupo maior — este é o pulo do gato da questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do que o grupo de futebol" → os alunos estão ordenados por altura; o grupo do topo (mais alto) é maior em 1 pessoa que o grupo de baixo, logo a turma tem número ímpar de alunos.
• Evidência 2: tabela com "Média 1,65 / Mediana 1,67 / Moda 1,70" → três medidas diferentes são fornecidas de propósito, para testar se o aluno sabe qual delas é a "linha divisória" entre os dois grupos: apenas a mediana tem significado posicional.
• Evidência 3: "as suas alturas não são iguais a de nenhum outro colega da sala" → garante que não há empate de altura que pudesse gerar ambiguidade em quem fica de que lado da fronteira — cada um dos quatro alunos ocupa uma posição única no ranking de alturas.
• Síntese: o problema pede para localizar, na fila ordenada de alturas da turma, onde cada um dos quatro alunos citados se encaixa em relação ao valor 1,67 m (a mediana), pois é essa medida — e não a média ou a moda — que separa quem jogou futebol de quem jogou basquete.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Por que a mediana é a fronteira entre os grupos

Sejam f o número de alunos do time de futebol e b o número de alunos do time de basquete. O enunciado diz que b = f + 1, e juntos eles formam toda a turma: n = f + b = f + (f + 1) = 2f + 1, um número ímpar.

Ordenando todos os n alunos da turma da menor para a maior altura, os f alunos mais baixos formam o time de futebol e os b = f + 1 alunos mais altos formam o time de basquete. Como n é ímpar, a mediana ocupa exatamente a posição central, isto é, a posição (n + 1) ÷ 2 = f + 1 na lista ordenada.

Repare: a posição f + 1 é justamente a primeira posição do grupo de basquete (o grupo de basquete começa na posição f + 1 e vai até 2f + 1). Ou seja, o aluno cuja altura é igual à mediana é, por definição, o mais baixo do time de basquete — e não o mais alto do time de futebol. Isso acontece exatamente porque o basquete tem "uma pessoa a mais": esse excedente empurra a posição central para dentro do grupo maior.

Subpasso 4.2 — Aplicando a fronteira (mediana = 1,67 m) às quatro alturas

Com a fronteira estabelecida — quem tem altura menor que 1,67 m joga futebol; quem tem altura maior ou igual a 1,67 m joga basquete (pois o próprio dono da altura mediana está no basquete) —, basta comparar cada aluno:

• P = 1,65 m → 1,65 < 1,67 → está abaixo da mediana → futebol
• J = 1,66 m → 1,66 < 1,67 → está abaixo da mediana → futebol
• F = 1,67 m → 1,67 = mediana → é exatamente o aluno-fronteira, que pertence ao grupo maior → basquete
• M = 1,68 m → 1,68 > 1,67 → está acima da mediana → basquete

A informação de que "as alturas de P, J, F e M não se repetem com nenhum outro colega" garante que não há dúvida sobre a posição de F: ele é o único aluno da turma com 1,67 m, então ocupa sozinho a posição central — sem ele, não seria possível afirmar com certeza que a altura mediana pertence ao basquete e não ao futebol.

Subpasso 4.3 — Verificação

Sequência obtida: P → futebol, J → futebol, F → basquete, M → basquete.

Comparando com as alternativas, essa sequência corresponde exatamente à alternativa C: futebol, futebol, basquete, basquete. Note que a média (1,65 m) e a moda (1,70 m) foram apresentadas na tabela, mas nenhuma delas foi necessária para resolver a questão — eram dados "de contexto/distração" para verificar se o candidato sabe escolher a medida estatística correta (a mediana) entre as três oferecidas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) basquete, basquete, basquete, basquete.

❌ Incorreta: coloca todos no basquete, como se a fronteira fosse abaixo de 1,65 m. Ignora que apenas o grupo dos mais altos joga basquete; não é razoável que 4 alunos consecutivos e próximos em altura (1,65 a 1,68) estejam todos no grupo minoritário dos "mais altos".

B) futebol, basquete, basquete, basquete.

❌ Incorreta: sugere que a fronteira ficaria entre 1,65 m e 1,66 m, como se o critério de corte fosse a média (1,65 m) em vez da mediana. Isso classifica erroneamente J (1,66 m) como basquete, quando só a mediana (1,67 m) define a fronteira.

C) futebol, futebol, basquete, basquete.

✅ Correta: é exatamente o resultado da análise pela mediana (1,67 m). P e J têm alturas menores que a mediana e por isso ficam no grupo dos mais baixos (futebol); F, com altura igual à mediana, e M, acima dela, ficam no grupo maior dos mais altos (basquete), pois o excedente de "uma pessoa a mais" no basquete inclui justamente o aluno da posição central.

D) futebol, futebol, futebol, basquete.

❌ Incorreta: colocaria a fronteira entre 1,67 m e 1,68 m, como se F (exatamente na mediana) devesse ficar no grupo menor. É o erro inverso do esperado: ignora que, quando um grupo tem "uma pessoa a mais", é o elemento da posição mediana que "sobra" para o grupo maior, não para o menor.

E) futebol, futebol, futebol, futebol.

❌ Incorreta: coloca todos no futebol, como se a fronteira estivesse acima de 1,68 m — possivelmente confundindo mediana com moda (1,70 m). Usar a moda como critério de corte não faz sentido estatístico, pois ela indica só o valor mais frequente, sem relação com a posição central da distribuição.

🏆 Gabarito: C — a mediana (1,67 m) é a medida que efetivamente separa os grupos; como o basquete tem um aluno a mais, o aluno da posição mediana (F) entra no basquete junto com M, enquanto P e J, abaixo da mediana, jogam futebol.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C respeita simultaneamente a condição "basquete = alunos mais altos" e a regra posicional da mediana quando um grupo tem exatamente uma pessoa a mais que o outro; qualquer outra combinação viola essa lógica de corte.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora testar se o aluno sabe diferenciar média, mediana e moda na prática, apresentando as três juntas em uma tabela e criando uma situação em que apenas uma delas tem significado relevante para o problema — normalmente a mediana, por ser a única com interpretação posicional direta.
• Generalização: sempre que um problema falar em "dividir um grupo ordenado ao meio" (mais altos vs. mais baixos, mais velhos vs. mais novos, notas acima/abaixo de um corte), a medida estatística a investigar primeiro é a mediana; e se os dois subgrupos têm tamanhos diferentes por apenas 1 elemento, o elemento central pertence ao subgrupo maior.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente onde cada medida (média, mediana, moda) se encaixa entre as alturas dadas — se uma alternativa "corta" exatamente na média ou na moda em vez de na mediana, ela quase certamente está errada; isso elimina B e E em segundos.
• Conexões: essa mesma lógica aparece em questões de quartis e percentis (P25, P50/mediana, P75) e em problemas de estatística aplicada a rankings e classificações esportivas, onde entender a posição central de uma lista ordenada é a chave da resolução.