Questão 154 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (propriedades operatórias) aplicados a um contexto real
• ⚡ Nível: Médio — exige decompor um número em potências de 10 e de 2, usar a aproximação dada e depois cruzar o resultado com uma tabela de classificação
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de logaritmos decimais em situações-problema (escala Richter) — competência de modelar e resolver com funções logarítmicas
• 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Substitua os valores de amplitude e frequência na fórmula da magnitude local, calcule Ms usando log 2 ≈ 0,3 e diga em qual faixa da tabela esse valor se encaixa."
• Palavras-chave decisivas: Ms = 3,30 + log(A.f), amplitude de 2 000 μm e frequência de 0,2 Hz, log 2 ≈ 0,3
• Armadilha típica: esquecer de somar a constante 3,30 depois de calcular o logaritmo, ou errar a contagem de zeros ao separar A·f em potência de 10 (confundir 10² com 10¹ ou 10³)
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de aplicar propriedades de logaritmo (log de produto e log de potência de 10) para transformar um número "feio" (400) em algo calculável só com log 2, e depois interpretar corretamente um intervalo numérico em uma tabela.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Logaritmo decimal (base 10): log(x) é o expoente ao qual 10 deve ser elevado para resultar em x. Por definição, log(10ⁿ) = n para qualquer n inteiro.
• Propriedade do logaritmo do produto: log(a·b) = log(a) + log(b). É essa propriedade que permite separar log(400) em log(4) + log(100).
• Reescrever números como potências de 2 e de 10: 400 = 4 × 100 = 2² × 10². Isso é o que torna possível usar apenas a aproximação log 2 ≈ 0,3 fornecida no enunciado, sem precisar de calculadora.
• Leitura de tabela com intervalos fechados: cada faixa da tabela (pequeno, ligeiro, moderado, grande, extremo) é definida por desigualdades do tipo a ≤ Ms ≤ b, e o valor calculado precisa ser encaixado exatamente em uma delas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Ms = 3,30 + log(A.f)" → a fórmula fixa o procedimento: primeiro multiplica-se A por f, depois se aplica o logaritmo do produto, e só no final soma-se a constante 3,30.
• Evidência 2: "amplitude máxima de 2 000 μm e frequência de 0,2 Hz" → são os dois valores numéricos que substituem A e f na fórmula.
• Evidência 3 (tabela da figura): o quadro relaciona faixas de Ms a descrições — Pequeno (0 a 3,9), Ligeiro (4,0 a 4,9), Moderado (5,0 a 5,9), Grande (6,0 a 9,9) e Extremo (≥ 10,0) — é essa tabela que converte o número calculado em uma palavra (a resposta da questão).
• Síntese: o caminho é (1) calcular A·f, (2) calcular log(A·f) usando log 2 ≈ 0,3, (3) somar 3,30 para obter Ms, e (4) localizar esse Ms na tabela para escolher a alternativa correspondente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o produto A·f

A questão informa A = 2 000 μm e f = 0,2 Hz. Substituindo dentro do parêntese da fórmula:

A·f = 2 000 × 0,2 = 400

Esse é o número que precisa entrar no logaritmo.

Subpasso 4.2 — Calcular log(400) e obter Ms

Para calcular log(400) sem calculadora, é preciso reescrever 400 como produto de potências que a aproximação fornecida (log 2 ≈ 0,3) consiga resolver:

400 = 4 × 100 = 2² × 10²

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto e do logaritmo de potência:

log(400) = log(2²) + log(10²) = 2·log(2) + 2

Substituindo log 2 ≈ 0,3:

log(400) = 2 × 0,3 + 2 = 0,6 + 2 = 2,6

Agora, aplicando a fórmula completa:

Ms = 3,30 + log(A.f) = 3,30 + 2,6 = 5,9

Subpasso 4.3 — Verificação (cruzando com a tabela)

Com Ms = 5,9, é hora de localizar esse valor na tabela de classificação:

• Pequeno: 0 ≤ Ms ≤ 3,9 → não se encaixa (5,9 é maior)
• Ligeiro: 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9 → não se encaixa
• Moderado: 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9 → 5,9 está exatamente no limite superior deste intervalo, logo se encaixa aqui
• Grande: 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9 → não se encaixa (5,9 é menor que 6,0)
• Extremo: Ms ≥ 10,0 → não se encaixa

O terremoto, portanto, é classificado como moderado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) pequeno.

❌ Incorreta: essa faixa corresponde a 0 ≤ Ms ≤ 3,9. Um estudante cai nessa alternativa se calcular corretamente log(400) = 2,6, mas esquecer de somar a constante 3,30 da fórmula — parando o cálculo antes da última etapa e confundindo o logaritmo isolado com a magnitude final.

B) ligeiro.

❌ Incorreta: essa faixa corresponde a 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9. Esse erro aparece quando o aluno erra a contagem de zeros ao separar 100 em potência de 10, tratando 10² como se fosse 10¹: log(400) = log(4) + log(10) = 0,6 + 1 = 1,6, e então Ms = 3,30 + 1,6 = 4,9 — um valor que cai exatamente nessa faixa, mas por um erro de decomposição.

C) moderado.

✅ Correta: com o cálculo correto, Ms = 3,30 + log(400) = 3,30 + 2,6 = 5,9, valor que está dentro do intervalo 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9, classificando o terremoto como moderado.

D) grande.

❌ Incorreta: essa faixa corresponde a 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9. Esse resultado surgiria se o estudante trocasse a vírgula decimal da frequência, lendo 0,2 Hz como 2 Hz: A·f = 2 000 × 2 = 4 000; log(4 000) = log(4) + log(1000) = 0,6 + 3 = 3,6; Ms = 3,30 + 3,6 = 6,9 — um erro de leitura do enunciado, não de conceito matemático.

E) extremo.

❌ Incorreta: essa faixa corresponde a Ms ≥ 10,0. Um aluno chegaria a essa alternativa se ignorasse a função logarítmica por completo, interpretando "log(A.f)" como se fosse apenas "A.f": Ms = 3,30 + 400 = 403,3 — um valor absurdamente alto, mas que "pareceria" indicar magnitude extrema para quem não percebeu que era necessário aplicar o logaritmo.

🏆 Gabarito: C — o cálculo correto usando as propriedades de logaritmo e a aproximação log 2 ≈ 0,3 leva a Ms = 5,9, valor que se encaixa exatamente na faixa "moderado" (5,0 ≤ Ms ≤ 5,9) da tabela.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: Ms = 5,9 satisfaz estritamente 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9, e nenhuma outra faixa da tabela contém esse valor — por isso "moderado" é a única resposta compatível com o cálculo correto.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de contextualizar logaritmos em fenômenos reais (terremotos, pH, decibéis, crescimento populacional), sempre fornecendo uma aproximação de log (como log 2 ≈ 0,3 ou log 3 ≈ 0,48) para que a questão seja resolvida sem calculadora.
• Generalização: sempre que aparecer log de um número "não redondo" dentro de uma fórmula, tente decompô-lo em produto de potências de 10 com potências dos números cujo log foi fornecido (2, 3, 5...) — isso transforma qualquer cálculo aparentemente complexo em uma soma simples.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a ordem de grandeza do produto A·f (aqui, uma centena — 400) e você já sabe que log(A·f) estará entre 2 e 3; somando 3,30, o resultado final estará entre 5 e 6, o que elimina de cara "pequeno", "grande" e "extremo" antes mesmo de fazer a conta fina.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a outras escalas logarítmicas cobradas no ENEM, como a escala de pH (potencial hidrogeniônico) e a escala de decibéis (intensidade sonora) — todas usam log para comprimir grandezas que variam em muitas ordens de grandeza em uma escala numérica pequena e fácil de interpretar.