Questão 138 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem e Equações do 1º grau (interpretação de problema contextualizado)
• ⚡ Nível: Fácil — depois de interpretado o texto, o problema se resolve com uma única equação de porcentagem, sem exigir contas complexas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Porcentagem aplicada a uma situação-problema de orçamento com parcela fixa e parcela variável, competência de traduzir texto em linguagem matemática (equação do 1º grau).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o maior percentual de recompensa que, somado ao custo de transporte, ainda cabe dentro do valor total do objeto?"
• Palavras-chave decisivas: um quinto do valor atual, gasto total... não ultrapasse o valor atual, maior percentual possível
• Armadilha típica: esquecer que o "gasto total" é a SOMA de duas parcelas (transporte + recompensa), e não apenas a recompensa isolada — quem ignora o transporte tende a responder 100% ou algum valor sem relação com o teto real.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar uma equação (ou inequação levada ao seu limite) que representa "parcela fixa + parcela variável = teto de gasto" e isolar corretamente a variável pedida.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como fração do valor total: "x% de V" equivale a multiplicar V por x/100; nesta questão, tanto o transporte quanto a recompensa são frações do mesmo valor de referência V (o valor atual do objeto).
• Tradução de texto em equação: expressões como "um quinto do valor" (1/5 = 0,2 = 20%) e "não ultrapasse" (relação de limite máximo) precisam virar símbolos matemáticos antes de qualquer conta.
• Maximização dentro de um limite: quando o texto pede o "maior valor possível" para uma grandeza sujeita a "não ultrapassar" um teto, o valor máximo ocorre exatamente quando o gasto total se iguala ao teto — ou seja, transforma-se a desigualdade em igualdade no ponto de fronteira.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o custo com transporte será de um quinto do valor atual do objeto" → o transporte é uma parcela fixa e conhecida: 1/5 de V, isto é, 20% de V.
• Evidência 2: "o gasto total com as despesas não ultrapasse o valor atual do objeto" → a soma (transporte + recompensa) tem um teto de 100% de V.
• Evidência 3: "pretende ofertar o maior percentual possível de recompensa" → busca-se o valor máximo da recompensa compatível com esse teto, o que ocorre no limite exato da restrição (gasto total = 100% de V).
• Síntese: o problema pede para "repartir" o valor do objeto (100%) entre duas despesas: uma fixa (transporte = 20%) e uma variável a ser maximizada (recompensa = x%). Maximizar x significa usar toda a "folga" que sobra depois de descontar o transporte.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Representar as grandezas em função do valor do objeto

Seja V o valor atual do objeto (100% de referência).

• Custo de transporte: T = (1/5)·V = 0,2V (equivale a 20% de V)
• Recompensa oferecida: R = x%·V = (x/100)·V, onde x é o percentual que se quer descobrir
• Restrição do problema: T + R ≤ V (o gasto total não pode ultrapassar o valor do objeto)

Subpasso 4.2 — Maximizar x usando o limite da restrição

Como ela quer o maior x possível respeitando T + R ≤ V, o máximo ocorre exatamente quando a desigualdade vira igualdade (usar 100% do teto disponível, sem sobra):

0,2V + (x/100)·V = V

Dividindo os dois lados por V (V ≠ 0, pois o objeto tem valor positivo):

0,2 + x/100 = 1

x/100 = 1 − 0,2 = 0,8

x = 80

Subpasso 4.3 — Verificação

Conferindo: transporte (20%) + recompensa (80%) = 100% do valor do objeto — exatamente no limite máximo permitido, sem ultrapassá-lo. Além disso, 80% satisfaz a exigência legal citada no texto de recompensa mínima de 5% (80% ≥ 5%, condição atendida com folga). O resultado x = 80% corresponde exatamente à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 20%

❌ Incorreta: 20% é o valor do custo de transporte (1/5 de V), não da recompensa. Quem marca essa alternativa monta a fração corretamente, mas troca os papéis das duas parcelas na equação, respondendo com o dado de entrada (transporte) em vez do resultado pedido (recompensa).

B) 25%

❌ Incorreta: surge de confundir "um quinto" (1/5 = 20%) com "um quarto" (1/4 = 25%) do valor do objeto — um deslize comum entre frações de nomes parecidos — e reportar esse percentual diretamente como resposta, sem sequer montar a equação do gasto total.

C) 40%

❌ Incorreta: decorre de um erro de conversão que dobra por engano a fração do transporte, tratando 1/5 como se fosse 2/5 (= 40%), e apresentando esse valor mal calculado diretamente como se fosse a recompensa, sem realizar a etapa de subtração em relação ao valor total do objeto.

D) 60%

❌ Incorreta: repete o mesmo erro de entrada da alternativa C (tomar o transporte como 40% em vez de 20%), mas dessa vez completa corretamente o raciocínio, subtraindo de 100%. O método (V − transporte = recompensa máxima) está certo, porém o dado de partida (fração do transporte) está errado.

E) 80%

✅ Correta: aplicando 0,2V + (x/100)V = V, obtém-se x = 80. Esse é o maior percentual de recompensa que, somado ao custo fixo de transporte (20%), esgota exatamente o limite de gasto total permitido (100% do valor do objeto), sem ultrapassá-lo.

🏆 Gabarito: E — a recompensa máxima é 80%, pois é o único valor que, somado aos 20% fixos de transporte, totaliza exatamente 100% do valor do objeto, respeitando o teto do enunciado e maximizando a oferta.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única alternativa compatível simultaneamente com as duas condições do texto — transporte fixo de 20% do valor e gasto total limitado a 100% do valor —, o que obriga a recompensa a ser exatamente 80%.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de "orçamento fixo": uma parcela conhecida e fixa mais uma parcela variável que deve ser maximizada (ou minimizada) dentro de um teto, geralmente embrulhados em contextos jurídicos, financeiros ou de compras do dia a dia.
• Generalização: sempre que o enunciado disser algo como "não pode ultrapassar" e pedir o "maior valor possível" de uma grandeza, o valor máximo é obtido substituindo a desigualdade pela igualdade (usar 100% do limite disponível) e isolando a variável pedida.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a fração fixa citada no texto (aqui, 1/5 = 20% de transporte) e subtraia de 100%; o resultado (80%) já aponta diretamente para a alternativa correta, dispensando contas mais longas ou tentativa e erro entre as opções.
• Conexões: problemas de porcentagem com restrição orçamentária (aluguel + condomínio, salário líquido após descontos, promoções com desconto sucessivo) e equações do 1º grau aplicadas a contextos de proporcionalidade direta.