Questão 173 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes
• ⚡ Nível: Difícil — a questão exige inverter uma condicional (a informação dada é P(fraude | inconsistente), mas a pergunta é P(inconsistente | fraude)), etapa que costuma confundir mesmo quem domina probabilidade básica.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade condicional a partir de dados percentuais em cascata (árvore de probabilidades) — competência de resolver situações-problema que envolvem o raciocínio combinatório e probabilístico.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que uma declaração é fraudulenta, qual é a probabilidade de ela também ter sido classificada como inconsistente?"
• Palavras-chave decisivas: dado que, fraudulenta, inconsistente
• Armadilha típica: confundir P(fraudulenta | inconsistente) — a informação de 25% dada no enunciado — com P(inconsistente | fraudulenta), que é exatamente o que a questão pede. São probabilidades condicionais inversas uma da outra e, em geral, têm valores diferentes.
• O que a resposta precisa demonstrar: a capacidade de identificar corretamente a direção da condicional (o "dado que" da pergunta vem depois da fraude, não da inconsistência) e de aplicar o Teorema de Bayes para inverter essa condição.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B) — a probabilidade de A ocorrer sabendo que B já ocorreu. O evento depois da barra é sempre a informação já conhecida.
• Partição do espaço amostral: toda declaração é ou inconsistente (I) ou consistente/não inconsistente (Iᶜ). Esses dois eventos são complementares e, juntos, cobrem 100% dos casos — não há uma terceira possibilidade.
• Teorema de Bayes: permite "inverter" uma condicional. Conhecendo P(F|I) e P(F|Iᶜ), é possível calcular P(I|F) somando as probabilidades conjuntas de cada caminho que leva à fraude e comparando a fatia de interesse com o total.
• Árvore de probabilidades (regra do produto): ferramenta visual em que se multiplicam as probabilidades ao longo dos "galhos" para obter a probabilidade conjunta de cada combinação de eventos sucessivos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "identificaram como inconsistentes 20% das declarações" → P(I) = 0,20 e, por complemento, P(Iᶜ) = 1 − 0,20 = 0,80.
• Evidência 2: "constataram que 25% delas eram fraudulentas" (referindo-se às inconsistentes) → P(F|I) = 0,25, a taxa de fraude dentro do grupo inconsistente.
• Evidência 3: "dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas" → P(F|Iᶜ) = 0,0625, a taxa de fraude dentro do grupo consistente.
• Síntese: existem duas "portas de entrada" para uma declaração ser fraudulenta — via inconsistência (com taxa alta, 25%) ou via aparência regular (com taxa baixa, 6,25%). A pergunta pede que fração da fraude total veio pela primeira porta. Isso é a assinatura clássica de um problema de Teorema de Bayes com duas causas concorrentes.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a árvore de probabilidades

Partindo do total de declarações (100%), o primeiro ramo separa Inconsistente (I) de Consistente (Iᶜ); o segundo ramo, dentro de cada um, separa Fraudulenta (F) de Não fraudulenta (Fᶜ). Multiplicando as probabilidades de cada galho (regra do produto), obtemos as quatro probabilidades conjuntas:

• P(I ∩ F) = P(I) × P(F|I) = 0,20 × 0,25 = 0,05
• P(I ∩ Fᶜ) = P(I) × P(Fᶜ|I) = 0,20 × 0,75 = 0,15
• P(Iᶜ ∩ F) = P(Iᶜ) × P(F|Iᶜ) = 0,80 × 0,0625 = 0,05
• P(Iᶜ ∩ Fᶜ) = P(Iᶜ) × P(Fᶜ|Iᶜ) = 0,80 × 0,9375 = 0,75

Subpasso 4.2 — Calcular P(F), a probabilidade total de uma declaração ser fraudulenta

A fraude pode ocorrer por dois caminhos mutuamente exclusivos (via inconsistência ou via aparência regular), então somam-se as duas probabilidades conjuntas que contêm F:

P(F) = P(I ∩ F) + P(Iᶜ ∩ F) = 0,05 + 0,05 = 0,10

Ou seja, 10% de todas as declarações analisadas são fraudulentas — e, curiosamente, metade dessa fraude vem de cada grupo (inconsistente e consistente), o que já é um forte indício de que a resposta final será 0,5.

Subpasso 4.3 — Verificação: aplicar o Teorema de Bayes

A pergunta pede P(I|F), ou seja, dentro do universo das declarações fraudulentas (100% × 0,10 = a "fatia F" do total), qual fração é também inconsistente:

P(I|F) = P(I ∩ F) ÷ P(F) = 0,05 ÷ 0,10 = 0,5

Conferindo pela soma de todas as probabilidades da árvore: 0,05 + 0,15 + 0,05 + 0,75 = 1,00 ✓ — o modelo está consistente. E, de fato, 0,5000 aparece entre as alternativas, confirmando o caminho de resolução.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0,0500

❌ Incorreta: esse é o valor de P(I ∩ F) = 0,20 × 0,25 = 0,05, ou seja, a probabilidade conjunta de uma declaração ser simultaneamente inconsistente e fraudulenta em relação ao total geral. Quem marca essa alternativa parou no meio do caminho: calculou o numerador do Teorema de Bayes, mas esqueceu de dividir pelo denominador P(F) para obter a probabilidade condicional pedida.

B) 0,1000

❌ Incorreta: esse é o valor de P(F) = 0,10, a probabilidade marginal (incondicional) de uma declaração qualquer ser fraudulenta. Esse número responde "qual a chance de uma declaração ser fraudulenta?", e não "dado que é fraudulenta, qual a chance de ser inconsistente?" — confunde o denominador de Bayes com a resposta final.

C) 0,1125

❌ Incorreta: 0,1125 = 0,05 + 0,0625, resultado de somar a probabilidade conjunta P(I ∩ F) = 0,05 com a taxa condicional P(F|Iᶜ) = 0,0625 sem qualquer justificativa probabilística. É um erro de manipular grandezas de natureza diferente (uma probabilidade conjunta somada a uma probabilidade condicional do outro grupo), o que não corresponde a nenhuma operação válida do Teorema de Bayes.

D) 0,3125

❌ Incorreta: 0,3125 = 0,25 + 0,0625, ou seja, a soma direta das duas taxas condicionais dadas no enunciado (P(F|I) e P(F|Iᶜ)) sem ponderá-las pelas probabilidades de cada grupo (20% e 80%) e sem normalizar pelo total de fraudes. É o erro de tratar taxas condicionais de grupos diferentes como se fossem somáveis diretamente, ignorando completamente a estrutura da árvore de probabilidades.

E) 0,5000

✅ Correta: aplicando o Teorema de Bayes corretamente, P(I|F) = P(I ∩ F) ÷ P(F) = 0,05 ÷ 0,10 = 0,5. Esse é o único valor que resulta da divisão da probabilidade conjunta (numerador) pela probabilidade total de fraude somando os dois caminhos possíveis (denominador), exatamente como a pergunta exige.

🏆 Gabarito: E — porque a probabilidade de uma declaração ser inconsistente, dado que é fraudulenta, é obtida dividindo a probabilidade conjunta P(inconsistente ∩ fraudulenta) = 0,05 pela probabilidade total de fraude P(fraudulenta) = 0,10, resultando em 0,5000.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas 0,5000 nasce da razão correta P(I ∩ F) ÷ P(F); todas as demais alternativas surgem de operações incompletas ou indevidas entre os mesmos números do enunciado, o que reforça que E é a única resposta matematicamente consistente com o Teorema de Bayes.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma apresentar problemas de probabilidade condicional em formato de "cascata" (percentuais de percentuais), quase sempre pedindo a condicional inversa daquela fornecida diretamente no texto — um clássico disfarce do Teorema de Bayes sem nunca citar esse nome.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "probabilidade de X, dado que Y" e os dados originais forem "probabilidade de Y, dado que X", monte uma árvore de probabilidades com todos os ramos, calcule as probabilidades conjuntas por multiplicação e finalize dividindo a conjunta de interesse pela soma de todos os caminhos que levam ao evento condicionante (aqui, F).
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que sejam exatamente iguais a um dado do enunciado (como 0,05, que é só P(I) × P(F|I)) ou a somas diretas de percentuais (como 0,25 + 0,0625) — Bayes quase nunca resulta em uma soma simples; ele é sempre uma razão entre uma parte e o todo.
• Conexões: temas próximos que aparecem com a mesma lógica são o problema clássico do "teste diagnóstico" (sensibilidade e especificidade de um exame médico) e problemas de urnas com múltiplas fases de sorteio — ambos resolvidos com a mesma árvore de probabilidades e o mesmo Teorema de Bayes.