Questão 139 — ENEM 2019Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções definidas por partes (funções compostas por trechos) e leitura/interpretação de gráficos
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a lei de formação em três sentenças e comparar as inclinações resultantes com o traçado gráfico
• 🎯 Tema/Habilidade: Construção e leitura de função definida por partes aplicada a uma situação real de tarifação progressiva
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre cinco gráficos, identificar aquele que representa corretamente o valor P pago em função do volume V consumido, sabendo que a tarifa aumenta a cada faixa de consumo."
• Palavras-chave decisivas: valor fixo, por metro cúbico ao que exceder, consumo máximo de 15 m³
• Armadilha típica: inverter a ordem das inclinações (achar que a tarifa fica mais barata conforme o consumo cresce), ou imaginar que o valor "trava" em um patamar após certo consumo, ou ainda representar as três faixas como se fossem uma única reta com inclinação constante.
• O que a resposta precisa demonstrar: que P(V) é uma função por partes com um trecho constante seguido de dois trechos crescentes, cuja inclinação aumenta de um trecho para o outro, delimitada em V = 15.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função definida por partes: função cuja lei de formação muda conforme o intervalo (a "faixa") em que a variável independente se encontra — aqui, o volume V consumido.
• Coeficiente angular (taxa de variação): representa a tarifa por m³ em cada faixa; quanto maior a tarifa, mais inclinado (íngreme) é o trecho correspondente do gráfico.
• Continuidade nos pontos de transição: o valor pago ao final de uma faixa deve coincidir com o valor no início da próxima, pois cada nova tarifa incide apenas sobre o volume que excede o limite da faixa anterior — não há "salto" no gráfico.
• Domínio da função: o enunciado fixa o consumo máximo mensal em 15 m³, logo o gráfico correto não pode se estender além de V = 15.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "para consumo de até 6 m³, valor fixo de R$ 12,00" → trecho horizontal (inclinação zero) de V = 0 até V = 6, com P = 12.
• Evidência 2: "tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico ao que exceder a 6 m³" → trecho crescente com inclinação 3 entre V = 6 e V = 10.
• Evidência 3: "tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico ao que exceder a 10 m³" → trecho crescente com inclinação 6 (o dobro do trecho anterior) a partir de V = 10.
• Evidência 4: "consumo máximo de água por residência é de 15 m³ por mês" → o gráfico deve terminar em V = 15, sem prolongamento.
• Síntese: o gráfico certo precisa ter exatamente três trechos — um patamar constante seguido por dois segmentos crescentes com inclinação cada vez maior — finalizando em V = 15.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a lei de formação por partes

A partir das três faixas descritas:

P(V) = 12, se 0 ≤ V ≤ 6

P(V) = 12 + 3·(V − 6), se 6 < V ≤ 10

P(V) = 12 + 3·(10 − 6) + 6·(V − 10) = 24 + 6·(V − 10), se 10 < V ≤ 15

Subpasso 4.2 — Calcular os valores nos pontos de transição (vértices do gráfico)

Esses pontos são os "cotovelos" que o gráfico precisa apresentar exatamente:

• V = 0 → P = 12

• V = 6 → P = 12 (ainda dentro da faixa 1)

• V = 10 → P = 12 + 3 × (10 − 6) = 12 + 12 = 24

• V = 15 (consumo máximo) → P = 24 + 6 × (15 − 10) = 24 + 30 = 54

Subpasso 4.3 — Verificação: comparar a inclinação de cada trecho

Inclinação do trecho 1 (V de 0 a 6): 0 (reta horizontal, valor fixo)

Inclinação do trecho 2 (V de 6 a 10): (24 − 12) ÷ (10 − 6) = 12 ÷ 4 = 3, exatamente a tarifa de R$ 3,00/m³ informada.

Inclinação do trecho 3 (V de 10 a 15): (54 − 24) ÷ (15 − 10) = 30 ÷ 5 = 6, exatamente a tarifa de R$ 6,00/m³ informada — o dobro da inclinação anterior.

Logo, o gráfico correto exibe: um segmento constante, seguido por um segmento crescente moderado e, por fim, um segmento crescente mais inclinado que o anterior, terminando em V = 15. Essa é uma função crescente e convexa (a taxa de variação aumenta de faixa para faixa).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Gráfico com trecho horizontal de 0 a 6, seguido de um trecho crescente moderado até 10, seguido de um trecho mais inclinado (mais íngreme) até 15.

✅ Correta: reproduz fielmente as três inclinações calculadas — 0, depois 3, depois 6 (crescente) — e os pontos P(6) = 12, P(10) = 24 e P(15) = 54, terminando exatamente em V = 15.

B) Gráfico com trecho horizontal, seguido de um trecho muito inclinado, seguido de um trecho menos inclinado.

❌ Incorreta: inverte a ordem das inclinações. Esse traçado sugeriria que a tarifa por m³ diminui conforme o consumo aumenta, o oposto do enunciado, que estabelece que a faixa 3 (R$ 6,00/m³) é o dobro da tarifa da faixa 2 (R$ 3,00/m³).

C) Gráfico com trecho horizontal, trecho crescente e, em seguida, um novo patamar horizontal até V = 15.

❌ Incorreta: sugere que, a partir de certo consumo, o valor pago para de crescer, como se a faixa 3 fosse gratuita ou tivesse tarifa nula. Isso contraria a informação de que todo m³ consumido acima de 10 m³ é cobrado a R$ 6,00.

D) Gráfico com trecho horizontal seguido de uma única reta com inclinação constante até V = 15 (sem quebra em V = 10).

❌ Incorreta: ignora a mudança de tarifa que ocorre em V = 10. Trata as faixas 2 e 3 como se tivessem a mesma tarifa de R$ 3,00/m³ do início ao fim, quando a inclinação deveria dobrar (passar para 6) a partir de V = 10.

E) Gráfico que já começa crescendo a partir de V = 0, sem trecho inicial horizontal, com uma pequena mudança de inclinação no meio.

❌ Incorreta: desrespeita a Faixa 1, que determina valor fixo de R$ 12,00 para qualquer consumo de até 6 m³. O gráfico deveria começar com um trecho constante (horizontal), e não com uma reta já crescente desde a origem.

🏆 Gabarito: A — é o único gráfico que reproduz as três faixas de tarifação: patamar constante até V = 6, crescimento com inclinação 3 até V = 10, e crescimento mais acentuado (inclinação 6) até o consumo máximo de 15 m³.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é o único gráfico coerente com as três taxas de variação (0, 3 e 6) calculadas diretamente do enunciado e com o domínio limitado a V = 15 m³.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a situações de "tarifação por faixas" — conta de água, conta de energia elétrica, Imposto de Renda progressivo, planos de internet ou telefonia com franquia — que geram exatamente esse tipo de função definida por partes, cobrada tanto em forma de gráfico quanto de tabela.
• Generalização: em qualquer tarifa progressiva por faixas, quanto maior a tarifa unitária de uma faixa, mais inclinado é o trecho correspondente do gráfico. Se a tarifa aumenta a cada faixa (como neste caso), o gráfico resultante é crescente e convexo, ou seja, fica cada vez "mais íngreme".
• Dica de eliminação rápida: calcule apenas os pontos de virada — aqui, P(6) = 12 e P(10) = 24 — e compare a inclinação do 2º trecho com a do 3º. Isso elimina B (inclinações invertidas), C (patamar indevido) e D (inclinação única sem quebra) em poucos segundos, restando decidir entre A e E observando se o gráfico começa horizontal (Faixa 1 tem valor fixo).
• Conexões: funções afins e por partes (tabela de Imposto de Renda, frete progressivo, planos com franquia), leitura e interpretação de gráficos, coeficiente angular como taxa de variação.