Mapa de questões · 2º dia
Questão 173 — ENEM 2010Caderno azul · 2º Dia
João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise combinatória (permutação e simetria)
- ⚡ Nível: Muito difícil — a divisão por dois é o passo que decide a questão.
- 🎯 Tema/Habilidade: Número de trajetos a examinar e tempo total.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: o tempo mínimo para João examinar todas as sequências necessárias.
- Estrutura da questão: a cidade A é fixa no início e no fim. Só a ordem das cinco cidades visitadas varia — e trajetos simétricos custam o mesmo.
- Armadilha antecipada: calcular 5! = 120 e multiplicar direto por 1,5 min, chegando a 180 min. O enunciado diz que cada análise já descarta a simétrica.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Permutação de n elementos distintos: n! maneiras de ordená-los. Aqui, as cinco cidades a visitar podem ser ordenadas de 5! = 120 formas.
A cidade A não entra na contagem: ela é fixa como ponto de partida e de chegada.
Cada trajeto e seu inverso têm o mesmo custo — ABCDEFA e AFEDCBA percorrem exatamente as mesmas estradas. Isso agrupa os 120 trajetos em 60 pares.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Trajetos possíveis: 5! = 120, correspondentes às ordens de visita às cinco cidades.
Como cada análise cobre o trajeto e sua simétrica, o número de análises necessárias é 120 ÷ 2 = 60.
Tempo: 60 × 1,5 min = 90 minutos — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 60 min corresponderia a 40 análises, o que não bate com os 60 pares de trajetos simétricos.
- B) ✓ Correta. São 60 análises de 1min30s cada: 60 × 1,5 = 90 minutos.
- C) ✗ Incorreta. 120 min corresponde a 80 análises, número que não decorre de 5! nem de sua metade.
- D) ✗ Incorreta. 180 min é o resultado de examinar os 120 trajetos individualmente, ignorando que cada análise descarta a simétrica.
- E) ✗ Incorreta. 360 min corresponderia a 240 trajetos — o dobro de todas as permutações possíveis.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Quando o problema diz que dois casos são equivalentes, conte e depois divida. Esquecer a divisão leva ao distrator mais popular.
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