Questão 164 — ENEM 2010Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana (circunferência inscrita)
• ⚡ Nível: Difícil — o problema é espacial, mas se resolve olhando só a base.
• 🎯 Tema/Habilidade: Raio do cilindro tangente às faces do prisma.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

🔎 Passo 1 — O que a questão pede

• Comando: o raio da perfuração cilíndrica na peça.
• Estrutura da questão: o cilindro é tangente às três faces laterais do prisma. Cortando o prisma pela base, o problema vira plano.
• Armadilha antecipada: tentar usar a altura de 10 cm do prisma. Ela não interfere no raio: o cilindro é tangente às laterais, e isso se decide na base.

📚 Passo 2 — O conceito em jogo

A seção do cilindro pela base do prisma é a circunferência inscrita no triângulo, tangente aos três lados.

O raio da circunferência inscrita relaciona-se com a área e o semiperímetro do triângulo: r = A / s.

O triângulo de lados 6, 8 e 10 é retângulo, pois 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Sua área é o semiproduto dos catetos.

🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta

Área do triângulo: (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm².

Semiperímetro: (6 + 8 + 10) ÷ 2 = 12 cm.

Raio: r = 24 ÷ 12 = 2 cm — alternativa B.

🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas

• A) ✗ Incorreta. Com r = 1 cm a circunferência não tocaria os três lados: sobraria folga em relação às faces do prisma.
• B) ✓ Correta. É o resultado de r = A/s = 24/12, o raio da circunferência inscrita no triângulo de lados 6, 8 e 10.
• C) ✗ Incorreta. Com r = 3 cm a circunferência ultrapassaria o menor cateto, que mede 6 cm de comprimento total.
• D) ✗ Incorreta. Um raio de 4 cm daria diâmetro 8 cm, incompatível com um triângulo de cateto 6 cm.
• E) ✗ Incorreta. 5 cm é o raio do círculo circunscrito, com a hipotenusa como diâmetro — o oposto do que a questão pede.

🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão

Cilindro tangente às faces de um prisma é circunferência inscrita na base. E r = A/s resolve qualquer triângulo.