Mapa de questões · 2º dia
Questão 168 — ENEM 2010Caderno azul · 2º Dia
Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
Vesfera=4/3π R3 e Vcone=1/3π R2h
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Volume de esfera e cone
- ⚡ Nível: Muito difícil — o hemisfério é metade da esfera, e essa metade decide tudo.
- 🎯 Tema/Habilidade: Altura do champanhe na taça cônica.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: a altura do volume de champanhe na taça em forma de cone.
- Estrutura da questão: as duas taças devem conter o mesmo volume. A primeira é um hemisfério cheio; a segunda, um cone parcialmente preenchido.
- Armadilha antecipada: usar a fórmula da esfera inteira. A taça é um hemisfério, o que exige dividir por dois.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Volume da esfera: V = (4/3)πR³. Volume do hemisfério: metade disso, ou seja, (2/3)πR³.
Volume do cone: V = (1/3)πr²h.
Igualando os dois volumes, o π e parte dos fatores se cancelam, o que simplifica bastante a conta.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Volume do hemisfério, com R = 3 cm: (2/3)π(3)³ = (2/3)π(27) = 18π cm³.
Volume do cone com r = 3 cm e altura h: (1/3)π(3)²h = 3πh.
Igualando: 3πh = 18π, logo h = 6 cm — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 1,33 corresponde a 4/3, número que aparece na fórmula da esfera, mas não é a altura procurada.
- B) ✓ Correta. É o resultado de igualar 18π cm³ do hemisfério a 3πh do cone.
- C) ✗ Incorreta. 12,00 seria o resultado de usar o volume da esfera inteira, esquecendo que a taça é um hemisfério.
- D) ✗ Incorreta. 56,52 é aproximadamente 18π, ou seja, o próprio volume em cm³, não a altura em cm.
- E) ✗ Incorreta. 113,04 é aproximadamente 36π, o volume da esfera inteira — dobro do que a taça comporta.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Taça em hemisfério é sempre metade da esfera. Esse fator 1/2 esquecido leva direto ao distrator de 12 cm.
Comunidade Memorize · Grátis
Não perca nenhuma live, aula ou material.
Entre na comunidade do WhatsApp e receba os avisos de tudo que a equipe Memorize lança de graça — direto no seu celular.