Mapa de questões · 2º dia
Questão 161 — ENEM 2010Caderno azul · 2º Dia
Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana (semelhança e áreas)
- ⚡ Nível: Fácil — o triângulo dos pontos médios tem área conhecida: um quarto do original.
- 🎯 Tema/Habilidade: Área da região delimitada por pontos médios.
- 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: a que corresponde a área da região ABMN.
- Estrutura da questão: M e N são pontos médios dos lados. A região a calçar é o triângulo grande menos o triângulo pequeno do canto.
- Armadilha antecipada: supor que o triângulo dos pontos médios tem metade da área. Ele tem um quarto, porque a razão de semelhança é 1/2 e a área varia com o quadrado.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.
Ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo, o triângulo menor formado é semelhante ao original na razão 1/2. Logo, sua área é (1/2)² = 1/4 da área total.
O que sobra do triângulo grande é 1 − 1/4 = 3/4 da área.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Área de MNC: um quarto da área de ABC, pela semelhança de razão 1/2.
Área de ABMN: ABC menos MNC = 1 − 1/4 = 3/4 da área de ABC.
Comparando com MNC: 3/4 dividido por 1/4 dá 3. A região é o triplo do triângulo MNC — alternativa E.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. O triângulo AMC tem metade da área de ABC, já que M é ponto médio. A região ABMN corresponde a 3/4.
- B) ✗ Incorreta. Pelo mesmo motivo, BNC tem metade da área do triângulo maior, e não 3/4.
- C) ✗ Incorreta. Metade de ABC seria 1/2. A região sombreada corresponde a 3/4.
- D) ✗ Incorreta. O dobro de MNC seria 1/2 da área total. A região vale 3/4, que é o triplo de MNC.
- E) ✓ Correta. ABMN vale 3/4 de ABC, e MNC vale 1/4. A razão entre as duas é exatamente 3.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Razão de semelhança 1/2 significa razão de áreas 1/4. Elevar ao quadrado é o passo que quase todo mundo pula.
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