Mapa de questões · 2º dia
Questão 152 — ENEM 2010Caderno azul · 2º Dia
Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
r(t)=5865/(1+0,15 × cos (0,06 t))
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
Alternativas
Resolução
📋 Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções trigonométricas e valores extremos
- ⚡ Nível: Muito difícil — o cosseno está no denominador, o que inverte a intuição.
- 🎯 Tema/Habilidade: Apogeu e perigeu de um satélite.
- 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa
🔎 Passo 1 — O que a questão pede
- Comando: a soma das distâncias no apogeu e no perigeu.
- Estrutura da questão: a função é um quociente com cosseno no denominador. Os extremos de r saem dos extremos do cosseno.
- Armadilha antecipada: achar que o máximo de r ocorre quando o cosseno é máximo. Estando no denominador, o cosseno máximo produz o menor r.
📚 Passo 2 — O conceito em jogo
O cosseno oscila entre −1 e 1, quaisquer que sejam a amplitude e a frequência do argumento.
Numa fração de numerador positivo constante, quanto menor o denominador, maior o valor da fração. Logo, o máximo de r corresponde ao mínimo do denominador.
Denominador mínimo: 1 + 0,15 × (−1) = 0,85. Denominador máximo: 1 + 0,15 × 1 = 1,15.
🧮 Passo 4 — O caminho até a resposta
Apogeu (r máximo), com cos = −1: r = 5 865 / 0,85 = 6 900 km.
Perigeu (r mínimo), com cos = 1: r = 5 865 / 1,15 = 5 100 km.
Soma: S = 6 900 + 5 100 = 12 000 km — alternativa B.
🔍 Passo 5 — Análise das Alternativas
- A) ✗ Incorreta. 12 765 km não corresponde à soma dos dois extremos calculados com os valores −1 e 1 do cosseno.
- B) ✓ Correta. É a soma de 6 900 km no apogeu e 5 100 km no perigeu.
- C) ✗ Incorreta. 11 730 km é o dobro de 5 865, resultado de supor que o cosseno se anula nos dois extremos.
- D) ✗ Incorreta. 10 965 km não decorre de nenhum dos valores extremos do cosseno na expressão dada.
- E) ✗ Incorreta. 5 865 km é o numerador da função, valor que r assumiria apenas se o cosseno fosse zero — e não é extremo.
🏁 Passo 6 — O que levar dessa questão
Cosseno no denominador inverte tudo: cos = −1 dá o máximo, cos = 1 dá o mínimo. Escreva as duas contas antes de decidir qual é qual.
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