Questão 88 — ENEM 2015Caderno azul · 1º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Física → Ondas eletromagnéticas e noções de geometria plana (lugar geométrico da circunferência)
• ⚡ Nível: Médio — não exige contas, mas exige raciocínio espacial sobre interseção de circunferências, algo pouco treinado nas escolas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Trilateração (localização por distância a pontos fixos) — aplicar conceitos de geometria para interpretar uma tecnologia do cotidiano.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo apenas a distância do celular até cada torre (nunca a direção), qual é o menor número de torres que garante uma posição única para o celular no plano?"
• Palavras-chave decisivas: tempo de resposta, puntiformes, mesmo plano, número mínimo
• Armadilha típica: achar que 1 torre já basta (porque "dá para calcular a distância") ou que 2 torres resolvem o problema, ignorando que duas circunferências se cruzam em dois pontos, não em um só.
• O que a resposta precisa demonstrar: entendimento de que cada torre fornece apenas uma distância (não uma direção), e que localizar um ponto exige eliminar toda ambiguidade geométrica gerada por essa informação incompleta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Tempo de resposta e cálculo de distância: o sinal eletromagnético viaja a uma velocidade v aproximadamente constante (próxima à velocidade da luz). Medindo o tempo t que o sinal leva entre a torre e o celular, calcula-se a distância d = v·t. Esse cálculo informa "quão longe" o celular está da torre, mas não informa em que direção.
• Lugar geométrico da circunferência: o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma distância fixa d de um ponto central é, por definição, uma circunferência de raio d. Se você só conhece a distância a uma torre, o celular pode estar em qualquer ponto dessa circunferência.
• Trilateração (interseção de circunferências): é a técnica de localizar um ponto combinando as distâncias conhecidas a vários pontos de referência. Cada nova torre acrescenta uma nova circunferência; a posição real do celular é o ponto comum a todas elas simultaneamente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "baseia-se em informações do tempo de resposta do aparelho em relação às torres" → cada torre mede apenas um intervalo de tempo, que se converte em uma única grandeza escalar: a distância. Não há informação de ângulo ou direção envolvida.
• Evidência 2: "as torres e o celular são puntiformes e que estão sobre um mesmo plano" → a questão explicitamente restringe o problema a duas dimensões (plano), o que é decisivo: em geometria espacial (3D) a lógica seria outra (esferas), mas aqui trabalha-se com circunferências no plano.
• Síntese: o problema se resume a "quantas circunferências, centradas em pontos distintos, preciso sobrepor até restar um único ponto de interseção comum a todas?". Essa é a essência da trilateração em 2D.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Com uma torre: infinitas posições possíveis

Uma única torre calcula, via tempo de resposta, a distância d₁ até o celular. Geometricamente, isso define uma circunferência de raio d₁ centrada na torre. Todos os infinitos pontos dessa circunferência são candidatos igualmente válidos à posição do celular — a torre não tem como saber para qual lado, em qual ângulo, o sinal partiu. Uma torre isolada não localiza ninguém; apenas restringe a uma curva.

Subpasso 4.2 — Com duas torres: ambiguidade de dois pontos

Adicionando uma segunda torre, obtém-se uma segunda circunferência, de raio d₂, centrada em outro ponto. Duas circunferências distintas e não tangentes se cruzam, em geometria plana, em exatamente dois pontos (simetricamente posicionados em relação à reta que liga os centros das duas torres). Ou seja, mesmo sabendo as distâncias às duas torres, restam duas posições possíveis para o celular — a ambiguidade cai de "infinitos pontos" para apenas "dois pontos", mas ainda não é uma resposta única.

Subpasso 4.3 — Com três torres: interseção única (verificação)

Uma terceira torre acrescenta uma terceira circunferência, de raio d₃, centrada em um ponto que não está sobre a reta das duas primeiras torres (situação normal, já que as cinco torres do esquema estão espalhadas e não alinhadas). Dos dois pontos candidatos obtidos no Subpasso 4.2, apenas um deles também satisfaz a distância d₃ até a terceira torre. Logo, a interseção simultânea das três circunferências define exatamente um único ponto: a posição real do telefone. Verificação por contagem: 1 torre → ∞ pontos; 2 torres → 2 pontos; 3 torres → 1 ponto (posição determinada). Esse é o menor número de torres que elimina toda ambiguidade — exatamente o que a pergunta pede.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Uma.

❌ Incorreta: com apenas uma torre, obtém-se somente a distância (o raio) até o celular, o que define uma circunferência inteira de posições possíveis. Não há como reduzir isso a um ponto único — faltam referências para eliminar a direção desconhecida.

B) Duas.

❌ Incorreta: duas circunferências centradas em pontos distintos se interceptam, em geral, em dois pontos simétricos em relação à reta que une as torres. Sem uma terceira referência, não é possível saber qual dos dois pontos é a posição real do celular — a ambiguidade persiste.

C) Três.

✅ Correta: a terceira circunferência "desempata" os dois pontos candidatos gerados pelas duas primeiras torres, restando apenas um ponto comum às três circunferências simultaneamente. Como o problema é explicitamente bidimensional (torres e celular no mesmo plano), três referências não colineares são suficientes e necessárias para determinar uma posição única — nem mais, nem menos.

D) Quatro.

❌ Incorreta: uma quarta torre poderia até servir como redundância (útil, por exemplo, para corrigir erros de medição de tempo em sistemas reais), mas não é o número mínimo exigido pela geometria do problema. Como três torres já bastam para eliminar toda ambiguidade no plano, a quarta é dispensável para a pergunta feita.

E) Cinco.

❌ Incorreta: usar todas as torres disponíveis no esquema fornece o máximo de redundância, mas está bem acima do mínimo necessário. As duas torres extras (além das três indispensáveis) não contribuem para reduzir mais nenhuma ambiguidade geométrica, já eliminada com a terceira circunferência.

🏆 Gabarito: C — no plano, a posição de um ponto é determinada de forma única pela interseção de três circunferências de distância (trilateração), pois com apenas duas torres restam sempre dois pontos possíveis, e a terceira torre é o que resolve essa ambiguidade sem desperdiçar referências.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa que corresponde ao número exato de circunferências necessário para restar um único ponto de interseção comum — nem insuficiente (A, B) nem redundante (D, E).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir geometria (lugares geométricos, interseção de curvas) em contextos tecnológicos do cotidiano — GPS, celular, radar, sonar — testando se o estudante reconhece o modelo matemático por trás da tecnologia, sem exigir cálculos complexos.
• Generalização: sempre que uma grandeza física (tempo, intensidade de sinal, etc.) é convertida em uma distância até um ponto fixo, sua representação geométrica é uma circunferência (no plano) ou uma esfera (no espaço) de posições possíveis. Para localizar um ponto de forma única nessas condições, o número mínimo de referências é, em geral, "dimensão do espaço + 1": duas referências resolvem em 1D (uma reta), três resolvem em 2D (um plano), quatro seriam necessárias no raciocínio análogo em 3D.
• Dica de eliminação rápida: transforme a pergunta em "quantas circunferências preciso sobrepor até sobrar 1 ponto só?". Uma torre = infinitos pontos (descarta A); duas torres = 2 pontos (descarta B); a partir de três a ambiguidade acaba. Qualquer alternativa maior que o mínimo (D, E) já pode ser descartada só de perceber que a pergunta pede o valor mínimo.
• Conexões: sistemas de posicionamento global (GPS/GNSS, que usam o mesmo princípio em 3D com satélites), triangulação em cartografia e agrimensura, e sistemas de radar e sonar que também localizam objetos por tempo de resposta de ondas.