Mapa de questões · 2º dia
Questão 177 — ENEM 2023
A figura ilustra uma roda-gigante no exato instante em que a cadeira onde se encontra a pessoa P está no ponto mais alto dessa roda-gigante.
Com o passar do tempo, à medida que a roda-gigante gira, com velocidade angular constante e no sentido horário, a altura da cadeira onde se encontra a pessoa P, em relação ao solo, vai se alterando.
O gráfico que melhor representa a variação dessa altura, em função do tempo, contado a partir do instante em que a cadeira da pessoa P se encontra na posição mais alta da roda-gigante, é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Funções trigonométricas (seno e cosseno), movimento circular uniforme (altura em roda-gigante), interpretação de gráficos periódicos.
- Nível: Médio — exige reconhecer que a altura de um ponto em movimento circular uniforme (com velocidade angular constante) varia de forma senoidal/cossenoidal, e identificar a forma que parte do máximo (cosseno).
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT502 — resolver e elaborar problemas envolvendo funções trigonométricas em fenômenos periódicos.
- Gabarito oficial: A (cossenoide).
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Como varia a altura de uma pessoa na roda-gigante em função do tempo, sabendo que parte do ponto mais alto?"
- Palavras-chave ancorais: "roda-gigante", "velocidade angular constante", "ponto mais alto no tempo 0", "altura em função do tempo".
- Armadilha antecipada: (i) escolher gráfico em zigzag (movimentos triangulares não refletem rotação circular); (ii) escolher gráfico que parte do mínimo (D) em vez do máximo; (iii) escolher picos triangulares que não são suaves.
- Critério de acerto: altura $h(t) = h_{centro} + R \cos(\omega t)$, partindo do máximo (cosseno inicia em 1) — curva suave, tipo cossenoide.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Movimento circular e altura:
Ponto P na roda-gigante de raio $R$, centro a uma altura $h_{\text{centro}}$ acima do solo. A altura de P em função do tempo:
$$h(t) = h_{\text{centro}} + R \cos(\omega t)$$
No instante inicial ($t = 0$), $\cos 0 = 1$, então $h(0) = h_{\text{centro}} + R$ = altura máxima.
b) Comportamento ao longo do tempo:
- $t = 0$: altura máxima.
- $t = T/4$: altura = $h_{\text{centro}}$ (meio).
- $t = T/2$: altura mínima ($h_{\text{centro}} - R$).
- $t = 3T/4$: altura = $h_{\text{centro}}$.
- $t = T$: altura máxima novamente.
Onde $T = 2\pi/\omega$ é o período.
c) Forma do gráfico:
Curva suave, oscilante, periódica (cossenoide):
- Começa no pico.
- Desce suavemente até o vale.
- Sobe suavemente até o pico novamente.
d) Por que não é triangular ou em zigzag:
Movimento circular uniforme produz projeção trigonométrica suave, não linear por trechos. Zigzag (B) indicaria mudança brusca de direção, incompatível com velocidade angular constante.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Roda-gigante girando com $\omega$ constante.
- Sentido horário.
- Ponto P começa no topo ($t = 0$: altura máxima).
- Altura em função do tempo: $h(t) = R + R \cos(\omega t)$ (aproximadamente, com centro a altura $R$).
O gráfico certo é cossenoide, iniciando no máximo. Alternativa A.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Modelar matematicamente.
$h(t) = h_{\text{centro}} + R \cos(\omega t)$.
Subpasso 4.2 — Avaliar o comportamento em t = 0.
$\cos 0 = 1$ → altura máxima. Consistente com o enunciado.
Subpasso 4.3 — Identificar a forma do gráfico.
Cossenoide com máximo no início, mínimo em $T/2$, máximo novamente em $T$. Curva suave, senoidal.
Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.
Cossenoide iniciando no máximo → alternativa A.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) curva tipo cossenoide, partindo do máximo. ✅ Correta. Modelo clássico de altura em roda-gigante começando no topo.
B) zigzag triangular. ❌ Indicaria velocidade constante em sobe/desce retos — incompatível com rotação circular.
C) mistura de retas descendentes e horizontais. ❌ Discontínuo; não corresponde a movimento circular suave.
D) curva suave partindo do mínimo. ❌ Seria consistente com início no vale, mas o enunciado diz que P começa no topo.
E) picos triangulares pontiagudos. ❌ Picos agudos não correspondem a cossenoide suave.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa A — altura em roda-gigante com velocidade angular constante, partindo do topo, é descrita por uma cossenoide $h(t) = h_{\text{centro}} + R \cos(\omega t)$ com máximo em $t = 0$.
- Padrão de cobrança ENEM: funções trigonométricas em contextos de movimento circular (roda-gigante, pêndulo, marés, alternador elétrico) são recorrentes. Identificar partida no máximo (cosseno) ou zero (seno) é chave.
- Generalização: movimento oscilatório em círculo → projeção em eixo vertical = seno ou cosseno; maré, pêndulo, ondas EM — todos periódicos suaves.
- Dica de eliminação: descarte imediatamente gráficos não suaves (B, C, E). Entre A e D, escolha o que parte do máximo (consistente com o enunciado).
- Conexões: relaciona-se a Movimento Harmônico Simples (MHS), marés (ciclo lunar), ondas (som, luz), alternador elétrico (tensão AC), e ciclo circadiano (biologia).