Mapa de questões · 2º dia
Questão 159 — ENEM 2023
Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Progressão Geométrica / crescimento exponencial, logaritmos (implícitos), aplicação em contexto agrícola.
- Nível: Médio — exige resolver $100 \cdot 10^{t/3} = 10^6$ para descobrir o dia em que a população de larvas atinge 1 000 000 (quantidade tratável pelos 5 L do produto X).
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT304 — resolver e elaborar problemas que envolvem funções exponenciais em situações práticas.
- Gabarito oficial: D
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Começando com 100 larvas multiplicando-se por 10 a cada 3 dias, em quantos dias a população atinge 1 000 000 (que é o que 5 L de produto X tratam)?"
- Palavras-chave ancorais: "100 larvas iniciais", "multiplica por 10 a cada 3 dias", "5 L de produto X", "1 L trata 200 000 larvas", "aplicação de uma única vez".
- Armadilha antecipada: (i) esquecer de multiplicar os 5 L pelos 200 000 (= 1 000 000 larvas tratáveis); (ii) errar a PG (100 × 10 = 1000 em 3 dias, não em 1); (iii) confundir dias com etapas (4 etapas = 12 dias, não 4 dias).
- Critério de acerto: quantidade a ser tratada = 5 × 200 000 = 1 000 000. População em dias: $P(t) = 100 \times 10^{t/3}$. Resolver $100 \times 10^{t/3} = 10^6 \Rightarrow 10^{t/3} = 10^4 \Rightarrow t/3 = 4 \Rightarrow t = 12$ dias.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Modelo exponencial de crescimento:
População multiplica-se por 10 a cada 3 dias:
$$P(t) = P_0 \cdot 10^{t/3}$$
Com $P_0 = 100$:
$$P(t) = 100 \cdot 10^{t/3}$$
b) Quantidade de larvas tratáveis com 5 L de produto X:
$$N_{\text{tratável}} = 5\;\text{L} \times 200\,000\;\text{larvas/L} = 1\,000\,000\;\text{larvas}$$
c) Resolver a equação:
$$100 \cdot 10^{t/3} = 1\,000\,000$$
$$10^{t/3} = 10\,000 = 10^4$$
$$\frac{t}{3} = 4$$
$$t = 12\;\text{dias}$$
d) Tabela de evolução da população:
| Dia | População (larvas) |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 3 | 1 000 |
| 6 | 10 000 |
| 9 | 100 000 |
| 12 | 1 000 000 |
No 12º dia a população iguala exatamente a capacidade de tratamento dos 5 L.
e) Por que é "exatamente" e não "ao final do 12º dia":
A aplicação única deve ocorrer quando a população chega a 1 000 000, ou seja, no dia 12 (fim do quarto ciclo de 3 dias). Antes disso, os 5 L seriam mais do que o necessário (desperdício). Depois, seriam insuficientes.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- 100 larvas iniciais.
- Crescimento: ×10 a cada 3 dias (PG de razão 10).
- 5 L de produto X, 1 L trata 200 000 larvas → 5 L tratam 1 000 000.
- "Aplicação de uma única vez" → aplicar no dia em que a população = 1 000 000.
- Resolver para $t$: $t = 12$ dias.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular a quantidade total de larvas tratável.
$$5 \times 200\,000 = 1\,000\,000$$
Subpasso 4.2 — Escrever a função de população.
$$P(t) = 100 \times 10^{t/3}$$
Subpasso 4.3 — Igualar P(t) a 1 000 000.
$$100 \times 10^{t/3} = 1\,000\,000$$
$$10^{t/3} = 10\,000$$
$$10^{t/3} = 10^4$$
Subpasso 4.4 — Resolver para t.
$$\frac{t}{3} = 4$$
$$t = 12\;\text{dias}$$
Subpasso 4.5 — Selecionar a alternativa.
12 → alternativa D.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 2. ❌ Incorreta. Em 2 dias, a população mal teria mudado (não completa um ciclo de 3 dias).
B) 4. ❌ Incorreta. Número de etapas de multiplicação (não dias). Erro comum confundir "ciclos" com "dias".
C) 6. ❌ Incorreta. Em 6 dias, população = $100 \times 10^2 = 10\,000$ larvas, tratáveis com apenas 0,05 L (muito aquém dos 5 L).
D) 12. ✅ Correta. $t = 12$ dias → $P = 100 \times 10^4 = 1\,000\,000$ larvas, que são tratáveis com exatamente 5 L.
E) 18. ❌ Incorreta. Em 18 dias, população = $100 \times 10^6 = 10^8$ larvas (100 milhões), muito além do tratável com 5 L.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa D — o produto X deve ser aplicado 12 dias após o início do método, quando a população de larvas atinge exatamente 1 000 000 (tratável com os 5 L disponíveis).
- Padrão de cobrança ENEM: crescimento exponencial (vírus, bactérias, juros compostos) aparece com frequência. Sempre resolver com potências de 10 quando a base é amigável.
- Generalização: algoritmo para crescimento $P(t) = P_0 \cdot k^{t/T}$:
(1) Identificar a razão $k$ e o período $T$.
(2) Montar a equação $P(t) = $ meta.
(3) Isolar $k^{t/T}$ e usar logaritmo.
(4) Multiplicar por $T$ para obter o tempo em unidades corretas.
- Dica de eliminação: em problemas de crescimento exponencial, as respostas costumam ser múltiplos do período (aqui, múltiplos de 3). Elimine valores pequenos como 2 ou 4 quando o período é 3.
- Conexões: tema se conecta a bactérias (crescimento logarítmico no laboratório), juros compostos (fórmula $M = C(1+i)^t$), radioatividade (decaimento, inverso do crescimento), epidemiologia (número básico de reprodução R₀), e controle biológico de pragas.