Questão 141 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Probabilidade (casos favoráveis/total), contagem com multiplicidade (cartões por estudante), aritmética com frações.
• Nível: Médio — exige contar cartões, não estudantes, pois a probabilidade é baseada nos cartões (cada cartão é igualmente provável).
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT106 — resolver problemas de probabilidade em situações com diferentes pesos atribuídos a categorias.
• Gabarito oficial: E

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Na urna com cartões dos estudantes (1 por calouro, 2 por veterano, 3 por formando), qual a probabilidade de ser sorteado um formando?"
• Palavras-chave ancorais: "para cada estudante de 1º ano, 1 cartão; 2º ano, 2 cartões; 3º ano, 3 cartões", 200 do 1º, 150 do 2º, 100 do 3º, "todos os cartões com mesma probabilidade".
• Armadilha antecipada: (i) calcular a probabilidade com base em estudantes (100/(200+150+100) = 100/450 ≈ 22%) — errado, pois a questão pondera por cartões; (ii) esquecer de multiplicar o número de estudantes pelos cartões correspondentes; (iii) confundir quem tem mais cartões (terceiranistas, 3 cada).
• Critério de acerto: total de cartões = 200 + 300 + 300 = 800; cartões do 3º ano = 300; probabilidade = 300/800 = 3/8.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Probabilidade clássica:

$$P(A) = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}$$

Aqui, o "caso" é o cartão sorteado — não o estudante.

b) Contagem dos cartões:

| Ano | Estudantes | Cartões por estudante | Cartões totais |

|---|---|---|---|

| 1º | 200 | 1 | 200 |

| 2º | 150 | 2 | 300 |

| 3º | 100 | 3 | 300 |

| Total | 450 | — | 800 |

c) Cálculo da probabilidade:

$$P(\text{3º ano}) = \frac{300}{800} = \frac{3}{8}$$

d) Verificar (pela soma das probabilidades = 1):

• $P(1º) = 200/800 = 1/4$
• $P(2º) = 300/800 = 3/8$
• $P(3º) = 300/800 = 3/8$
• Soma: $1/4 + 3/8 + 3/8 = 2/8 + 3/8 + 3/8 = 8/8 = 1$ ✓

e) Interpretação da ponderação:

O sistema favorece estudantes de anos mais avançados: apesar de haver mais calouros (200), há mais cartões para veteranos e formandos. Formandos (100 estudantes com 3 cartões cada) acabam tendo tanta chance coletiva quanto veteranos (150 estudantes com 2 cartões cada).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• 200 calouros × 1 = 200 cartões.
• 150 veteranos × 2 = 300 cartões.
• 100 formandos × 3 = 300 cartões.
• Total: 800 cartões.
• Evento favorável: sortear um cartão de formando → 300 casos.

$$P = \frac{300}{800} = \frac{3}{8}$$

Alternativa E.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular cartões por grupo.

• 1º ano: $200 \times 1 = 200$ cartões.
• 2º ano: $150 \times 2 = 300$ cartões.
• 3º ano: $100 \times 3 = 300$ cartões.

Subpasso 4.2 — Total de cartões.

$$N_{\text{total}} = 200 + 300 + 300 = 800$$

Subpasso 4.3 — Casos favoráveis (cartões do 3º ano).

$$N_{\text{fav}} = 300$$

Subpasso 4.4 — Probabilidade.

$$P(\text{3º ano}) = \frac{300}{800}$$

Simplificar dividindo numerador e denominador por 100:

$$P = \frac{3}{8}$$

Subpasso 4.5 — Identificar a alternativa.

3/8 → alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/2. ❌ Incorreta. Seria o caso se metade dos cartões fosse do 3º ano, mas 300/800 = 3/8, não 1/2.

B) 1/3. ❌ Incorreta. Erro comum: calcular tratando os três grupos como equivalentes (1/3 de chance para cada ano) — ignora a ponderação por cartões.

C) 1/8. ❌ Incorreta. Resultado muito pequeno. Vem de algum erro aritmético, como esquecer de multiplicar alunos pelo número de cartões.

D) 2/9. ❌ Incorreta. Seria próximo de 100/(200+150+100) = 100/450 = 2/9. Esta é a probabilidade por estudante, ignorando a ponderação por cartões. Erro clássico.

E) 3/8. ✅ Correta. 300 cartões do 3º ano em 800 cartões totais. Simplificado: 3/8.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa E — 3/8. Os 100 estudantes do 3º ano, com 3 cartões cada, contribuem com 300 dos 800 cartões na urna, dando probabilidade 300/800 = 3/8.
• Padrão de cobrança ENEM: probabilidade ponderada (com pesos diferentes) aparece em contextos como sorteio com repetição, amostragem estratificada, loterias. Sempre contar por casos (cartões, bilhetes, fichas), não por categorias.
• Generalização: quando há diferentes "pesos" atribuídos, sempre multiplique quantidade × peso para obter os casos. Total = soma dos pesos ponderados.
• Dica de eliminação: se houver ponderação diferente, elimine imediatamente a probabilidade ingênua "1/nº de grupos" (B) ou "nº estudantes favoráveis / total estudantes" (D). A resposta correta sempre pondera.
• Conexões: tema se conecta a loterias (bilhetes múltiplos aumentam chance), prioridades em filas (idosos e gestantes contam como múltiplas entradas), amostragem estratificada, e sistemas de cota proporcional.