Questão 136 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Geometria Espacial (volume de cone, tronco de cone, cilindro), semelhança de triângulos (para obter altura do cone removido), aritmética com π ≈ 3.
• Nível: Difícil — exige calcular três volumes (cone original, cone menor removido, cilindro perfurante) e combiná-los corretamente, com atenção à altura do frustum (tronco) obtido por semelhança.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT310 — resolver problemas envolvendo volumes e áreas de figuras geométricas tridimensionais em situações práticas.
• Gabarito oficial: B

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a massa (g) de uma escultura obtida partindo de um cone (h=36, diâmetro base 18) → retirando cone menor no topo (diâmetro 6) → perfurando cilindro axial (diâmetro 6) de base a base? Densidade = 0,6 g/cm³, π = 3."
• Palavras-chave ancorais: cone reto, h = 36 cm, diâmetro base = 18 cm, cone menor removido com base 6 cm, cilindro de 6 cm de diâmetro com mesmo eixo, 0,6 g/cm³, π = 3.
• Armadilha antecipada: (i) calcular só o volume do tronco esquecendo o cilindro; (ii) usar a altura errada do tronco (pensar que é 36, mas o cone menor removido "corta" uma porção); (iii) calcular altura do cilindro errada (ele atravessa só o tronco, não o cone original inteiro); (iv) esquecer da densidade.
• Critério de acerto: V_escultura = V_tronco − V_cilindro; V_tronco = V_cone_grande − V_cone_pequeno; altura do cone pequeno por semelhança.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Volume de cone reto:

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

b) Volume de cilindro reto:

$$V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h$$

c) Semelhança de cones (mesmo vértice, mesma abertura):

Se o cone grande tem $r_G = 9$ e $h_G = 36$, um cone menor similar com $r_P = 3$ tem altura:

$$h_P = h_G \cdot \frac{r_P}{r_G} = 36 \cdot \frac{3}{9} = 12\;\text{cm}$$

d) Tronco de cone (frustum):

Resultado de remover o cone pequeno do topo (vértice) do cone grande. Parâmetros:

• Raio maior (base): $R = 9$ cm.
• Raio menor (topo): $r = 3$ cm.
• Altura do tronco: $h_T = h_G - h_P = 36 - 12 = 24$ cm.

e) Volume do tronco (pela subtração de cones):

$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{cone grande}} - V_{\text{cone pequeno}}$$

f) Cilindro perfurante:

• Raio: $r_c = 3$ cm (diâmetro 6).
• Altura: atravessa o tronco de base a base → $h_c = h_T = 24$ cm.

g) Escultura final:

$$V_{\text{escultura}} = V_{\text{tronco}} - V_{\text{cilindro}}$$

h) Massa:

$$m = V_{\text{escultura}} \times 0{,}6\;\text{g/cm}^3$$

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Cone grande: h = 36 cm, diâmetro base = 18 cm → raio $R = 9$ cm.
• Cone pequeno removido: diâmetro base = 6 cm → raio $r = 3$ cm; altura obtida por semelhança: $h_P = 12$ cm.
• Tronco de cone: $R = 9$, $r = 3$, $h_T = 24$ cm.
• Cilindro perfurante: raio 3 cm, altura 24 cm (igual à altura do tronco).
• Densidade: 0,6 g/cm³.
• π ≈ 3.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Altura do cone pequeno (semelhança).

$$h_P = 36 \cdot \frac{3}{9} = 12\;\text{cm}$$

Subpasso 4.2 — Volume do cone grande.

$$V_G = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9^2 \cdot 36 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 81 \cdot 36 = 81 \cdot 36 = 2916\;\text{cm}^3$$

Subpasso 4.3 — Volume do cone pequeno.

$$V_P = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108\;\text{cm}^3$$

Subpasso 4.4 — Volume do tronco.

$$V_T = V_G - V_P = 2916 - 108 = 2808\;\text{cm}^3$$

Subpasso 4.5 — Volume do cilindro perfurante.

Altura do cilindro = altura do tronco = 24 cm.

$$V_C = \pi r^2 h = 3 \cdot 3^2 \cdot 24 = 3 \cdot 9 \cdot 24 = 648\;\text{cm}^3$$

Subpasso 4.6 — Volume da escultura.

$$V_E = V_T - V_C = 2808 - 648 = 2160\;\text{cm}^3$$

Subpasso 4.7 — Massa da escultura.

$$m = V_E \cdot \rho = 2160 \cdot 0{,}6 = 1296\;\text{g}$$

Alternativa B — 1 296,0 g.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 198,8. ❌ Incorreta. Valor próximo, mas não bate com o cálculo correto. Pode vir de erro na altura do cone pequeno (por exemplo, usar 10 em vez de 12) ou outro desvio intermediário.

B) 1 296,0. ✅ Correta. V_escultura = 2160 cm³; massa = 2160 × 0,6 = 1296 g.

C) 1 360,8. ❌ Incorreta. Valor que surge de esquecer de subtrair o cilindro, ou de calcular altura do cilindro como 36 (altura total do cone original, não do tronco). Exemplo: se V_cilindro for 648, mas V_tronco for calculado de forma diferente.

D) 4 665,6. ❌ Incorreta. Ordem de grandeza errada — valor corresponderia a usar π completo (3,14) em vez de 3, ou usar volume do cone grande completo sem subtrair o cone pequeno. Massa × 4 ~ não bate.

E) 4 860,0. ❌ Incorreta. Valor que vem de pegar massa do cone grande inteiro (2916 × 0,6 = 1749,6) vezes algum fator errado — ou mal interpretação da geometria. Não bate com o cálculo correto.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa B — massa = 1 296 g. Calculada a partir de $V_{\text{escultura}} = V_{\text{tronco}} - V_{\text{cilindro}} = 2808 - 648 = 2160$ cm³, multiplicada por densidade 0,6 g/cm³.
• Padrão de cobrança ENEM: geometria espacial em situações reais (esculturas, tanques, silos, peças) aparece com frequência. Sempre envolve composição/subtração de sólidos elementares (cone, cilindro, esfera, prisma).
• Generalização: para qualquer tronco de cone obtido removendo a "ponta" pelo alto, use primeiro a semelhança de triângulos para descobrir a altura do cone pequeno cortado; depois aplique $V_{\text{tronco}} = V_{\text{grande}} - V_{\text{pequeno}}$.
• Dica de eliminação: em questões com π = 3, os valores costumam ser números inteiros ou de 1 casa decimal. Valores muito desproporcionais (A, D, E aqui) indicam erro intermediário grave.
• Conexões: tema se conecta a problemas de tanques cônicos (álcool, petróleo), recipientes industriais, modelagem 3D, densidade de materiais (0,6 g/cm³ típica de madeiras leves), e a aplicações de semelhança de triângulos.