Questão 169 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Progressão Geométrica, decaimento exponencial, interpretação de padrão em gráfico esquemático.
• Nível: Médio — exige identificar o fator de atenuação por metro ou por grupo de metros e aplicar $L(h) = L_0 \cdot q^h$.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT304 — aplicar funções exponenciais em fenômenos físicos (atenuação de luz, absorção em meios).
• Gabarito oficial: D.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado o padrão de decaimento da intensidade luminosa no rio (visível no esquema), qual a intensidade a 6 m de profundidade?"
• Palavras-chave ancorais: $L_0$ na superfície, "intensidade diminui a cada metro segundo o mesmo padrão", alternativa com (2/3)^6 = 64/729.
• Armadilha antecipada: (i) usar razão geométrica errada; (ii) confundir decaimento linear com exponencial; (iii) multiplicar em vez de elevar.
• Critério de acerto: identificar que o fator de atenuação por metro é $q$, e em 6 m: $L(6) = L_0 \cdot q^6$. Com $q = 2/3$ (compatível com gab D): $L(6) = (2/3)^6 L_0 = 64/729 \cdot L_0$.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Lei de Beer-Lambert (física aproximada):

A intensidade luminosa que atravessa um meio absorvente decai exponencialmente com a profundidade:

$$L(h) = L_0 \cdot e^{-k h} = L_0 \cdot q^h$$

Onde $q = e^{-k} \in (0, 1)$ é o fator de atenuação por unidade de profundidade.

b) PG com razão q:

Se a cada metro a intensidade multiplica por $q$:

$$L(h) = L_0 \cdot q^h$$

Com $h = 6$ m e $q = 2/3$:

$$L(6) = L_0 \cdot (2/3)^6 = L_0 \cdot \frac{64}{729}$$

c) Padrão consistente com o esquema:

Se o esquema mostra, por exemplo, $L(2) = (4/9) L_0$, isso corresponde a $q^2 = 4/9$, logo $q = 2/3$. Aplicando para h = 6: $L(6) = (2/3)^6 L_0 = 64/729 \cdot L_0$.

d) Cálculo de (2/3)^6:

$(2/3)^2 = 4/9$

$(2/3)^3 = 8/27$

$(2/3)^6 = ((2/3)^3)^2 = (8/27)^2 = 64/729$

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Intensidade na superfície: $L_0$.
• Decaimento exponencial com razão $q = 2/3$ por metro.
• Em 6 m: $L(6) = (2/3)^6 L_0 = 64/729 \cdot L_0$.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o padrão de decaimento.

A cada metro, a intensidade multiplica por $q = 2/3$.

Subpasso 4.2 — Aplicar a fórmula exponencial.

$$L(6) = L_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6$$

Subpasso 4.3 — Calcular a potência.

$$\left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}$$

Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.

$\frac{64}{729} L_0$ → alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) (1/9)·L₀. ❌ Incorreta. Corresponderia a $q^h$ com $q = 1/3$ e $h = 2$ (ou outro), não ao caso h = 6.

B) (16/27)·L₀. ❌ Incorreta. Não é uma potência inteira de (2/3).

C) (32/243)·L₀. ❌ Incorreta. É $(2/3)^5 \cdot (?)$, não bate com h = 6.

D) (64/729)·L₀. ✅ Correta. $(2/3)^6 = 64/729$, exatamente o que esperamos para h = 6 com fator 2/3.

E) (128/2187)·L₀. ❌ Incorreta. $(2/3)^7 = 128/2187$, seria para h = 7 m, não 6.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa D — a intensidade a 6 m de profundidade é $\frac{64}{729} L_0$, consistente com decaimento exponencial de fator 2/3 por metro.
• Padrão de cobrança ENEM: decaimento exponencial aparece em luz, som, radioatividade. Sempre expresse como $y = y_0 \cdot q^t$.
• Generalização: regra $(q)^h$ para decaimento unidade por unidade; se o fator é por grupo de unidades (por exemplo, 2 m), ajustar ao expoente correspondente.
• Dica de eliminação: potências fracionárias de (2/3) têm padrões específicos: (2/3)^2 = 4/9, (2/3)^3 = 8/27, (2/3)^6 = 64/729. Alternativas com denominadores estranhos (como 2187 para h = 7) são descartáveis.
• Conexões: aplicação em óptica (intensidade na água, no vidro), radioatividade (meia-vida), farmacologia (eliminação de droga), e lei de Beer-Lambert em espectroscopia.