Mapa de questões · 2º dia
Questão 113 — ENEM 2023
O bluetooth é uma tecnologia de comunicação sem fio, de curto alcance, presente em diferentes dispositivos eletrônicos de consumo. Ela permite que aparelhos eletrônicos diferentes se conectem e troquem dados entre si. No padrão bluetooth, denominado de Classe 2, as antenas transmitem sinais de potência igual a 2,4 mW e possibilitam conectar dois dispositivos distanciados até 10 m. Considere que essas antenas se comportam como fontes puntiformes que emitem ondas eletromagnéticas esféricas e que a intensidade do sinal é calculada pela potência por unidade de área. Considere 3 como valor aproximado para π.
Para que o sinal de bluetooth seja detectado pelas antenas, o valor mínimo de sua intensidade, em W/m², é mais próximo de
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Ondulatória (intensidade de onda), Geometria (área da esfera), potências de 10.
- Nível: Médio — exige lembrar $I = P/(4\pi r^2)$, aplicar com $\pi \approx 3$ e fazer aritmética com notação científica.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13CNT101 — analisar e quantificar fenômenos ondulatórios aplicados à tecnologia (bluetooth, Wi-Fi, rádio).
- Gabarito oficial: A
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Com P = 2,4 mW irradiando esfericamente no máximo alcance de r = 10 m, qual a intensidade mínima detectável?"
- Palavras-chave ancorais: "fontes puntiformes", "ondas esféricas", "intensidade = potência por área", $P = 2,4\,\text{mW}$, $r = 10\,\text{m}$, $\pi \approx 3$.
- Armadilha antecipada: esquecer de converter mW para W (2,4 mW = 2,4 × 10⁻³ W); usar área do círculo $\pi r^2$ em vez da esfera $4\pi r^2$; confundir expoentes.
- Critério de acerto: aplicar $I = P/(4\pi r^2)$ com conversão correta e aproximação $\pi = 3$.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Intensidade de onda (definição):
$$I = \frac{P}{A}$$
onde $P$ é a potência que atravessa uma superfície perpendicular à direção de propagação e $A$ é a área dessa superfície.
b) Fonte puntiforme + onda esférica:
A energia se espalha em todas as direções uniformemente. A $r$ da fonte, a superfície "iluminada" é uma esfera de raio $r$, com área:
$$A = 4\pi r^2$$
Então:
$$I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}$$
c) Lei do inverso do quadrado:
$I \propto 1/r^2$ — dobrar a distância reduz a intensidade a ¼. Isso vale para luz, som, rádio, bluetooth etc., desde que o meio seja uniforme e não haja obstáculos.
d) Conversões úteis:
- 1 mW = 10⁻³ W.
- $\pi \approx 3$ (dado pelo enunciado para facilitar).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- $P = 2{,}4$ mW $= 2{,}4 \times 10^{-3}$ W.
- $r_{\max} = 10$ m (distância máxima em que ainda há conexão → intensidade mínima detectável).
- "antenas se comportam como fontes puntiformes emitindo ondas esféricas" → usar $A = 4\pi r^2$.
- $\pi \approx 3$ → facilita o cálculo.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Escrever a fórmula.
$$I_{\min} = \frac{P}{4\pi r^2}$$
Subpasso 4.2 — Calcular o denominador $4\pi r^2$.
$$4 \pi r^2 = 4 \times 3 \times (10)^2 = 12 \times 100 = 1200\;\text{m}^2$$
Subpasso 4.3 — Substituir e calcular $I_{\min}$.
$$I_{\min} = \frac{2{,}4 \times 10^{-3}}{1200} = \frac{2{,}4 \times 10^{-3}}{1{,}2 \times 10^{3}}$$
Simplificando o quociente:
$$I_{\min} = \frac{2{,}4}{1{,}2} \times 10^{-3 - 3} = 2 \times 10^{-6}\;\text{W/m}^2$$
Subpasso 4.4 — Identificar a alternativa.
$$I_{\min} = 2{,}0 \times 10^{-6}\;\text{W/m}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{Alternativa A}$$
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) $2{,}0 \times 10^{-6}$ W/m². ✅ Correta. Cálculo direto de $I = P/(4\pi r^2)$ com $P = 2{,}4 \times 10^{-3}$ W, $r = 10$ m, $\pi = 3$.
B) $2{,}0 \times 10^{-5}$ W/m². ❌ Incorreta. Resultado que se obtém se usarmos área do círculo $\pi r^2 = 300$ m² em vez da esfera, ou se esquecermos um fator 10 na conversão de mW. Erro de um expoente.
C) $2{,}4 \times 10^{-5}$ W/m². ❌ Incorreta. Valor que se obtém esquecendo o fator 4 ($\pi r^2$ em vez de $4\pi r^2$) e mantendo 2,4 mW: $I = 2{,}4 \times 10^{-3}/(3 \times 100) = 2{,}4 \times 10^{-3}/300 = 8 \times 10^{-6}$, hm não bate… Na verdade essa opção surge de erro misto de aproximações. Em todo caso, não bate com o cálculo correto.
D) $2{,}4 \times 10^{-3}$ W/m². ❌ Incorreta. Valor da potência em W (2,4 × 10⁻³ W), tratado como se fosse intensidade — ou seja, esqueceu de dividir pela área. Erro bruto.
E) $2{,}4 \times 10^{-1}$ W/m². ❌ Incorreta. Valor enormemente alto (0,24 W/m²) — inconsistente com uma antena de 2,4 mW a 10 m (seria só possível com área muito pequena). Poderia surgir de trocar 10² por 10⁰ na área (distância 1 m em vez de 10 m).
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa A — $I_{\min} = 2{,}0 \times 10^{-6}$ W/m², pela fórmula $I = P/(4\pi r^2)$ com $P = 2{,}4$ mW e $r = 10$ m.
- Padrão de cobrança ENEM: "fonte puntiforme + onda esférica" aparece em contextos variados (luz de uma estrela, som de um alto-falante, sinal de rádio). Sempre exige $A = 4\pi r^2$.
- Generalização: regra — "intensidade = potência dividida pela área da frente de onda". Esfera → $4\pi r^2$; cilindro (onda cilíndrica) → $2\pi r L$; plano (laser colimado) → área do feixe constante.
- Dica de eliminação: em questão de intensidade esférica, verifique sempre (i) conversões de unidade (mW → W, mm → m), (ii) fator 4 no $4\pi r^2$, (iii) expoente correto ($r^2$, não $r$).
- Conexões: a mesma fórmula aparece em intensidade luminosa de estrelas, sonoridade em acústica, dose de radiação em medicina nuclear, sinal de celular e Wi-Fi. Lei do inverso do quadrado é universal para fontes isotrópicas em meio livre.