Questão 154 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Geometria Plana (círculo, setor circular, segmento circular, triângulo), interpretação geométrica da interseção de figuras planas.
• Nível: Médio — exige reconhecer que o vértice do triângulo equilátero no centro do círculo e os dois lados saindo desse vértice delimitam um setor circular de 60°.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT309 — resolver problemas envolvendo figuras geométricas planas, interseções, setores, segmentos.
• Gabarito oficial: B

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A lua (círculo) tem um vértice do triângulo equilátero no seu centro; o triângulo cobre parte da lua. Qual a forma geométrica da região coberta?"
• Palavras-chave ancorais: "círculo (lua)", "triângulo equilátero" (telhado), "vértice do telhado coincide com o centro da lua", "parte da lua escondida atrás da torre".
• Armadilha antecipada: (i) confundir setor circular com segmento circular (segmento = fatia limitada por uma corda; setor = fatia limitada por dois raios); (ii) confundir com triângulo (só se a figura fosse totalmente interna ao círculo, o que aqui não é o caso); (iii) confundir com cone (3D, não planar).
• Critério de acerto: quando um vértice do triângulo coincide com o centro do círculo, os dois lados do triângulo que saem desse vértice funcionam como raios do círculo (na parte interna), delimitando um setor circular cuja abertura é igual ao ângulo do vértice (60° em triângulo equilátero).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Definições de regiões circulares:

| Figura | Definição |

|---|---|

| Setor circular | Região delimitada por dois raios e um arco (fatia de pizza) |

| Segmento circular | Região delimitada por uma corda e um arco (fatia cortada por reta) |

| Círculo | Região interna à circunferência |

| Arco de circunferência | Parte da circunferência (curva) |

b) Geometria do problema:

• Círculo (lua) com centro O.
• Triângulo equilátero com um vértice em O.
• Os dois lados do triângulo que partem de O têm comprimento igual ao lado do triângulo.
• A parte interna ao círculo desses dois lados funciona como dois raios do círculo (se o lado do triângulo for maior ou igual ao raio do círculo).
• A região do círculo coberta pelo triângulo é delimitada por:

- Os dois "raios" (lados do triângulo truncados pelo círculo).

- O arco do círculo entre esses dois raios.

c) Ângulo do vértice do triângulo equilátero:

60° (triângulo equilátero tem todos os ângulos internos iguais a 60°).

d) Resultado:

A região do círculo escondida pelo triângulo é um setor circular de 60° (1/6 do círculo inteiro).

e) Por que não é um segmento:

Segmento circular é delimitado por uma corda (reta secante ao círculo), não por dois raios. Se o triângulo tivesse um lado inteiro atravessando o círculo (com o círculo do lado de um dos lados), a região seria segmento. Aqui, o vértice está no centro → dois raios → setor.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Telhado da torre = triângulo equilátero.
• Lua = círculo.
• Vértice do telhado = centro da lua (O).
• Parte da lua coberta pelo telhado = região interna ao círculo que está também dentro do triângulo.

Essa região, com vértice em O (centro) + dois lados como raios + arco no círculo = setor circular.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar a configuração.

Triângulo equilátero com vértice V no centro O do círculo. Os dois lados saindo de V delimitam um ângulo de 60°.

Subpasso 4.2 — Identificar a região do círculo coberta.

Região = interseção do triângulo com o círculo = parte do círculo dentro do ângulo de 60° delimitado pelos dois lados que partem de O.

Subpasso 4.3 — Classificar a região.

Dois raios (lados do triângulo que viram raios do círculo ao encontrarem a circunferência) + um arco = setor circular.

Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.

Setor circular → alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) cone. ❌ Incorreta. Cone é sólido 3D. A figura é plana.

B) setor circular. ✅ Correta. Região delimitada por dois raios (lados do triângulo partindo do centro) e um arco de circunferência. Clássico setor de 60° (triângulo equilátero).

C) segmento circular. ❌ Incorreta. Segmento é delimitado por uma corda (secante que atravessa o círculo) e um arco. Aqui não há corda passando por dentro do círculo sem passar pelo centro.

D) triângulo isósceles. ❌ Incorreta. Uma parte do triângulo poderia ser descrita assim, mas a interseção com o círculo é curvilínea (inclui arco de circunferência), não pura triangular.

E) arco de circunferência. ❌ Incorreta. Arco é só a parte curva (unidimensional), não a região 2D delimitada. A pergunta é sobre a área escondida, que é 2D.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa B — a região da lua coberta pelo triângulo equilátero (com vértice no centro) é um setor circular de 60°, pois é delimitada por dois raios e um arco.
• Padrão de cobrança ENEM: distinguir setor de segmento é habilidade clássica de geometria plana. Regra: vértice no centro → setor; corda atravessando → segmento.
• Generalização: ao intersectar um triângulo com um círculo, a forma da interseção depende da posição relativa. Se um vértice está no centro, é setor; se um lado é corda, é segmento; se está inteiramente dentro, é o próprio triângulo.
• Dica de eliminação: elimine imediatamente cone (3D) e arco (1D). Entre as opções 2D, o critério "vértice no centro" → setor circular.
• Conexões: setor circular aparece em relógios analógicos (fatias correspondentes a minutos), em gráficos de pizza, em ventiladores (formato de pás), e em cálculo de áreas em geometria analítica (integral em coordenadas polares).