Mapa de questões · 2º dia
Questão 152 — ENEM 2023
A exposição a alguns níveis sonoros pode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas medidas preventivas de acordo com a máquina que o funcionário opera e o nível N de intensidade do som, medido em decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo N = 10·log₁₀(I) − 10·log₁₀(I₀), I a intensidade do som e I₀ = 10⁻¹² W/m².
Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).
Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48 dB ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.
Uma nova máquina, com I = 8 × 10⁻⁸ W/m², foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz.
Considere 0,3 como aproximação para log₁₀ 2.
O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Logaritmos (propriedades: log(a·b) = log a + log b; log(10ⁿ) = n), aplicações físicas (decibel).
- Nível: Médio — exige calcular $N = 10 \log(I/I_0)$ com $I = 8 \times 10^{-8}$ e $I_0 = 10^{-12}$, usando $\log 2 \approx 0{,}3$ e decidir qual intervalo (I, II, III, IV, V) contém o valor.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT304 — resolver problemas envolvendo logaritmos e sua aplicação em fenômenos físicos.
- Gabarito oficial: B
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual o nível N (em dB) de uma máquina com I = 8×10⁻⁸ W/m², dada $I_0 = 10⁻¹²$, log 2 ≈ 0,3, e em qual intervalo ela se enquadra (I a V)?"
- Palavras-chave ancorais: $N = 10 \log I - 10 \log I_0$ (equivalente a $10 \log(I/I_0)$), $I = 8 \times 10^{-8}$, $I_0 = 10^{-12}$, log 2 ≈ 0,3, intervalos de 48, 55, 80, 115 dB.
- Armadilha antecipada: (i) errar a decomposição de 8 ($= 2^3$, então $\log 8 = 3 \log 2 = 0{,}9$); (ii) errar o expoente de $I/I_0 = 10^{4}$; (iii) interpretar mal os intervalos abertos/fechados (o texto usa intervalos abertos: (48, 55), (55, 80), etc., mas N = 48 corresponde à medida I).
- Critério de acerto: calcular $N = 10 \log(I/I_0) = 10 \log(8 \cdot 10^4) = 10(\log 8 + 4) = 10(0{,}9 + 4) = 49$ dB → intervalo (48, 55) → medida II.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Definição de nível sonoro (decibel):
$$N = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$
Onde $I_0 = 10^{-12}$ W/m² é o limiar de audição humana. N é uma medida logarítmica da intensidade sonora.
b) Propriedades dos logaritmos:
- $\log(ab) = \log a + \log b$.
- $\log(10^n) = n$.
- $\log(a^n) = n \log a$.
c) Decomposição do número 8:
$$8 = 2^3 \Rightarrow \log 8 = 3 \log 2 = 3 \times 0{,}3 = 0{,}9$$
d) Cálculo de $I/I_0$:
$$\frac{I}{I_0} = \frac{8 \times 10^{-8}}{10^{-12}} = 8 \times 10^{-8-(-12)} = 8 \times 10^{4}$$
e) Cálculo de N:
$$N = 10 \log(8 \times 10^4) = 10 (\log 8 + \log 10^4) = 10 (0{,}9 + 4) = 10 \times 4{,}9 = 49\;\text{dB}$$
f) Enquadramento nos intervalos:
- N ≤ 48 dB → medida I (baixo).
- 48 < N ≤ 55 → medida II (moderado).
- 55 < N ≤ 80 → medida III (moderado alto).
- 80 < N ≤ 115 → medida IV (alto).
- N > 115 → medida V (muito alto).
49 dB está em (48, 55), logo no intervalo II.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Dados: $I = 8 \times 10^{-8}$ W/m², $I_0 = 10^{-12}$ W/m².
- Fórmula: $N = 10 \log(I/I_0)$.
- log 2 = 0,3.
- Calcular N e enquadrar no intervalo correspondente (I a V).
Resultado: N = 49 dB → medida II. Alternativa B.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular a razão $I/I_0$.
$$\frac{I}{I_0} = \frac{8 \times 10^{-8}}{10^{-12}} = 8 \times 10^4$$
Subpasso 4.2 — Aplicar o logaritmo.
$$\log(8 \times 10^4) = \log 8 + \log 10^4 = 3 \log 2 + 4 = 3(0{,}3) + 4 = 0{,}9 + 4 = 4{,}9$$
Subpasso 4.3 — Calcular N.
$$N = 10 \times 4{,}9 = 49\;\text{dB}$$
Subpasso 4.4 — Enquadrar no intervalo.
49 dB está em (48 dB, 55 dB) → medida II.
Subpasso 4.5 — Selecionar a alternativa.
Medida II → alternativa B.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) I. ❌ Incorreta. Medida I é para N ≤ 48. Como N = 49, excede o intervalo.
B) II. ✅ Correta. N = 49 dB está em (48, 55), portanto medida II (som moderado).
C) III. ❌ Incorreta. Medida III é para (55, 80). N = 49 está abaixo.
D) IV. ❌ Incorreta. Medida IV é para (80, 115). Muito acima do N = 49.
E) V. ❌ Incorreta. Medida V é para N > 115 — muito acima.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa B — a máquina produz N = 49 dB, classificando-se como som moderado (intervalo (48, 55)) e exigindo a medida preventiva II.
- Padrão de cobrança ENEM: logaritmos em contextos físicos (decibel, Richter, pH, magnitude estelar) aparecem recorrentemente. Sempre decompor o argumento em parte inteira × potência de 10 e aplicar a propriedade $\log(ab) = \log a + \log b$.
- Generalização: algoritmo:
(1) Calcular razão $I/I_0$ como $k \cdot 10^n$.
(2) $\log(k \cdot 10^n) = \log k + n$.
(3) Multiplicar por 10 para obter dB.
(4) Enquadrar no intervalo.
- Dica de eliminação: verifique se o logaritmo calculado está entre 0 e 1 (para intervalos de intensidade baixa-moderada). Se I/I₀ for da ordem de 10⁴, N deve ficar entre 40 e 50 dB.
- Conexões: decibel aparece em acústica (lesões auditivas), audiologia (limiar de dor ≈ 120 dB), engenharia de áudio, saúde ocupacional (NR-15 no Brasil), telecomunicações (ganho de sinal). Em escalas logarítmicas análogas: escala Richter (terremotos), pH (acidez), magnitude estelar (brilho).