Questão 152 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Logaritmos (propriedades: log(a·b) = log a + log b; log(10ⁿ) = n), aplicações físicas (decibel).
• Nível: Médio — exige calcular $N=10\log (I/I_0)$ com $I=8\times 10^{-8}$ e $I_0=10^{-12}$, usando $\log 2\approx 0,3$ e decidir qual intervalo (I, II, III, IV, V) contém o valor.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT304 — resolver problemas envolvendo logaritmos e sua aplicação em fenômenos físicos.
• Gabarito oficial: B

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual o nível N (em dB) de uma máquina com I = 8×10⁻⁸ W/m², dada $I_0=10^{-12}$, log 2 ≈ 0,3, e em qual intervalo ela se enquadra (I a V)?"
• Palavras-chave ancorais: $N=10\log I-10\log I_0$ (equivalente a $10\log (I/I_0)$), $I=8\times 10^{-8}$, $I_0=10^{-12}$, log 2 ≈ 0,3, intervalos de 48, 55, 80, 115 dB.
• Armadilha antecipada: (i) errar a decomposição de 8 ($=2^3$, então $\log 8=3\log 2=0,9$); (ii) errar o expoente de $I/I_0=10^4$; (iii) interpretar mal os intervalos abertos/fechados (o texto usa intervalos abertos: (48, 55), (55, 80), etc., mas N = 48 corresponde à medida I).
• Critério de acerto: calcular $N=10\log (I/I_0)=10\log (8\cdot 10^4)=10(\log 8+4)=10(0,9+4)=49$ dB → intervalo (48, 55) → medida II.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Definição de nível sonoro (decibel):

$$N=10{\log }_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

Onde $I_0=10^{-12}$ W/m² é o limiar de audição humana. N é uma medida logarítmica da intensidade sonora.

b) Propriedades dos logaritmos:

• $\log (ab)=\log a+\log b$.
• $\log (10^n)=n$.
• $\log (a^n)=n\log a$.

c) Decomposição do número 8:

$$8=2^3\Rightarrow \log 8=3\log 2=3\times 0,3=0,9$$

d) Cálculo de $I/I_0$:

$$\frac{I}{I_0}=\frac{8\times 10^{-8}}{10^{-12}}=8\times 10^{-8-(-12)}=8\times 10^4$$

e) Cálculo de N:

$$N=10\log (8\times 10^4)=10(\log 8+\log 10^4)=10(0,9+4)=10\times 4,9=49\text{dB}$$

f) Enquadramento nos intervalos:

• N ≤ 48 dB → medida I (baixo).
• 48 < N ≤ 55 → medida II (moderado).
• 55 < N ≤ 80 → medida III (moderado alto).
• 80 < N ≤ 115 → medida IV (alto).
• N > 115 → medida V (muito alto).

49 dB está em (48, 55), logo no intervalo II.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Dados: $I=8\times 10^{-8}$ W/m², $I_0=10^{-12}$ W/m².
• Fórmula: $N=10\log (I/I_0)$.
• log 2 = 0,3.
• Calcular N e enquadrar no intervalo correspondente (I a V).

Resultado: N = 49 dB → medida II. Alternativa B.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a razão $I/I_0$.

$$\frac{I}{I_0}=\frac{8\times 10^{-8}}{10^{-12}}=8\times 10^4$$

Subpasso 4.2 — Aplicar o logaritmo.

$$\log (8\times 10^4)=\log 8+\log 10^4=3\log 2+4=3(0,3)+4=0,9+4=4,9$$

Subpasso 4.3 — Calcular N.

$$N=10\times 4,9=49\text{dB}$$

Subpasso 4.4 — Enquadrar no intervalo.

49 dB está em (48 dB, 55 dB) → medida II.

Subpasso 4.5 — Selecionar a alternativa.

Medida II → alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I. ❌ Incorreta. Medida I é para N ≤ 48. Como N = 49, excede o intervalo.

B) II. ✅ Correta. N = 49 dB está em (48, 55), portanto medida II (som moderado).

C) III. ❌ Incorreta. Medida III é para (55, 80). N = 49 está abaixo.

D) IV. ❌ Incorreta. Medida IV é para (80, 115). Muito acima do N = 49.

E) V. ❌ Incorreta. Medida V é para N > 115 — muito acima.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa B — a máquina produz N = 49 dB, classificando-se como som moderado (intervalo (48, 55)) e exigindo a medida preventiva II.
• Padrão de cobrança ENEM: logaritmos em contextos físicos (decibel, Richter, pH, magnitude estelar) aparecem recorrentemente. Sempre decompor o argumento em parte inteira × potência de 10 e aplicar a propriedade $\log (ab)=\log a+\log b$.
• Generalização: algoritmo:

(1) Calcular razão $I/I_0$ como $k\cdot 10^n$.

(2) $\log (k\cdot 10^n)=\log k+n$.

(3) Multiplicar por 10 para obter dB.

(4) Enquadrar no intervalo.

• Dica de eliminação: verifique se o logaritmo calculado está entre 0 e 1 (para intervalos de intensidade baixa-moderada). Se I/I₀ for da ordem de 10⁴, N deve ficar entre 40 e 50 dB.
• Conexões: decibel aparece em acústica (lesões auditivas), audiologia (limiar de dor ≈ 120 dB), engenharia de áudio, saúde ocupacional (NR-15 no Brasil), telecomunicações (ganho de sinal). Em escalas logarítmicas análogas: escala Richter (terremotos), pH (acidez), magnitude estelar (brilho).