Questão 168 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Probabilidade (eventos sequenciais, condicional), contagem de casos possíveis após restrição.
• Nível: Difícil — exige entender o esquema de sorteio em duas etapas (unidades primeiro, depois dezenas restritas aos números 1-55) e calcular $P = P_1 \cdot P_2$ para cada candidato.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT106 — resolver problemas de probabilidade condicional, aplicando fórmula de multiplicação.
• Gabarito oficial: A.

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Com sorteio em duas urnas (unidades: 0-9; dezenas: apenas as compatíveis com um número 01-55 dado o sorteio da unidade), quais as probabilidades dos candidatos #50 e #02 serem sorteados?"
• Palavras-chave ancorais: 55 candidatos (01 a 55), 2 urnas sequenciais, unidades primeiro, dezenas filtradas conforme o sorteio de unidades.
• Armadilha antecipada: (i) não reconhecer que as probabilidades são diferentes para cada candidato, já que a segunda urna tem número variável de bolas conforme a unidade sorteada; (ii) esquecer de contar corretamente quantos números de 01 a 55 têm determinada unidade.
• Critério de acerto: para candidato #50: unidade = 0; números com unidade 0 entre 01-55 são {10, 20, 30, 40, 50} = 5 números; $P = (1/10) \cdot (1/5) = 1/50$. Para #02: unidade = 2; números com unidade 2 entre 01-55 são {02, 12, 22, 32, 42, 52} = 6 números; $P = (1/10) \cdot (1/6) = 1/60$.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Estrutura do sorteio:

• Urna 1: 10 bolas (0 a 9), escolhe unidades ($u$).
• Urna 2: depois da escolha de $u$, contém apenas as bolas cujas dezenas, junto com $u$, formam um número entre 01 e 55. A probabilidade de sortear uma dezena específica é $1/k$, onde $k$ é o número de bolas na urna 2.

b) Como determinar $k$ para cada $u$:

Contar quantos números da forma $\overline{du}$ estão entre 01 e 55 (com $d$ sendo dezena).

• $u = 0$: números = {10, 20, 30, 40, 50}. Dezenas possíveis $d \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ → $k = 5$.
• $u = 1$: números = {01, 11, 21, 31, 41, 51}. $d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ → $k = 6$.
• $u = 2$: números = {02, 12, 22, 32, 42, 52}. $k = 6$.
• $u = 3$: idem até 53, $k = 6$.
• $u = 4$: números = {04, 14, 24, 34, 44, 54}. $k = 6$.
• $u = 5$: números = {05, 15, 25, 35, 45, 55}. $k = 6$.
• $u = 6$: números = {16, 26, 36, 46} (não há 06, pois o intervalo começa em 01, mas também não há 56 porque é > 55). Na verdade, sim há 06 (entre 01 e 55). Lista = {06, 16, 26, 36, 46}. $k = 5$.
• $u = 7$: {07, 17, 27, 37, 47}. $k = 5$.
• $u = 8$: {08, 18, 28, 38, 48}. $k = 5$.
• $u = 9$: {09, 19, 29, 39, 49}. $k = 5$.

c) Probabilidades:

Candidato #50 (unidades 0, dezenas 5):

• $P(u = 0) = 1/10$.
• $P(d = 5 \mid u = 0) = 1/5$ (5 bolas na urna 2).
• $P(\#50) = (1/10)(1/5) = 1/50$.

Candidato #02 (unidades 2, dezenas 0):

• $P(u = 2) = 1/10$.
• $P(d = 0 \mid u = 2) = 1/6$ (6 bolas na urna 2).
• $P(\#02) = (1/10)(1/6) = 1/60$.

d) Verificação (soma = 1?):

Soma das probabilidades dos 55 candidatos deve dar 1.

• Unidades 0: 5 números, cada um com probabilidade 1/50. Soma: $5/50 = 1/10$.
• Unidades 1, 2, 3, 4, 5: 6 números cada, probabilidade 1/60 cada. Soma: $6/60 = 1/10$ cada. Cinco unidades: $5/10 = 1/2$.
• Unidades 6, 7, 8, 9: 5 números cada, probabilidade 1/50 cada. Soma: $5/50 = 1/10$ cada. Quatro unidades: $4/10 = 2/5$.
• Total: $1/10 + 1/2 + 2/5 = 1/10 + 5/10 + 4/10 = 10/10 = 1$ ✓.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• 55 candidatos (01-55).
• Sorteio em duas etapas: unidades → dezenas restritas.
• Probabilidades do #50 e #02: 1/50 e 1/60 respectivamente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Candidato #50.

• Unidades = 0 → $P = 1/10$.
• Dezenas compatíveis com u = 0: {1, 2, 3, 4, 5} → 5 opções → $P(d = 5 \mid u = 0) = 1/5$.
• Total: $P(\#50) = 1/50$.

Subpasso 4.2 — Candidato #02.

• Unidades = 2 → $P = 1/10$.
• Dezenas compatíveis com u = 2: {0, 1, 2, 3, 4, 5} → 6 opções → $P(d = 0 \mid u = 2) = 1/6$.
• Total: $P(\#02) = 1/60$.

Subpasso 4.3 — Selecionar a alternativa.

1/50 e 1/60 → alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/50 e 1/60. ✅ Correta. Cálculos coerentes com o esquema descrito.

B) 1/50 e 1/50. ❌ Incorreta. Para #02, há 6 dezenas possíveis (não 5), logo 1/60, não 1/50.

C) 1/50 e 1/10. ❌ Incorreta. 1/10 seria só a probabilidade da unidade, sem multiplicar pela probabilidade da dezena.

D) 1/55 e 1/54. ❌ Incorreta. Supõe que todos os candidatos têm a mesma probabilidade (1/55), o que não é o caso neste esquema de sorteio.

E) 1/100 e 1/100. ❌ Incorreta. Supõe independência total (10 × 10 = 100 números), ignorando a restrição.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa A — o candidato #50 tem probabilidade 1/50, e o #02 tem 1/60, resultado da multiplicação das probabilidades sequenciais com restrição condicional.
• Padrão de cobrança ENEM: sorteios em etapas com restrições condicionais são clássicos. Sempre aplicar $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
• Generalização: em sorteios não-uniformes, contar cuidadosamente o número de opções em cada etapa condicionada ao que já foi sorteado.
• Dica de eliminação: descartar respostas iguais para diferentes candidatos (B, D, E) quando o esquema gera probabilidades desiguais. A questão é um bom teste de atenção à condicionalidade.
• Conexões: probabilidade condicional é central em amostragem estratificada, diagnóstico médico (testes bayesianos), seguros, e machine learning (classificação probabilística).