Questão 155 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Geometria Plana (área de quadrado), cálculo de área de moldura por subtração.
• Nível: Fácil — exige achar o lado da piscina (raiz de 400 m² = 20 m), adicionar 5 m de cada lado para obter o lado do quadrado externo (30 m), calcular as áreas e subtrair.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT309 — resolver problemas de área de figuras planas em contextos práticos (decoração, construção, paisagismo).
• Gabarito oficial: D

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Piscina quadrada com 400 m² de área. Calçada de 5 m ao redor. Qual a área da calçada?"
• Palavras-chave ancorais: "piscina = quadrado", "área real = 400 m²", "calçada ao redor", "largura constante de 5 m".
• Armadilha antecipada: (i) calcular só 5 × 4 × 20 = 400 m² (perímetro × largura) — ignora os cantos; (ii) esquecer que a calçada "engorda" 5 m de cada lado, então o lado externo cresce 10 m; (iii) confundir dimensões (20 → 30, não 20 → 25).
• Critério de acerto: lado piscina = √400 = 20 m; lado externo (piscina + calçada) = 20 + 2×5 = 30 m; área externa = 900 m²; área calçada = 900 − 400 = 500 m².

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Lado da piscina:

$$A_{\text{piscina}} = l^2 \;\Rightarrow\; l = \sqrt{A} = \sqrt{400} = 20\;\text{m}$$

b) Dimensão do quadrado externo (piscina + calçada):

A calçada de 5 m envolve o quadrado em todos os lados. Portanto, o quadrado externo tem lado:

$$L = l + 2 \times 5 = 20 + 10 = 30\;\text{m}$$

(O fator 2 é crucial: a calçada está em dois lados opostos do quadrado.)

c) Área total (piscina + calçada):

$$A_{\text{total}} = L^2 = 30^2 = 900\;\text{m}^2$$

d) Área da calçada:

$$A_{\text{calçada}} = A_{\text{total}} - A_{\text{piscina}} = 900 - 400 = 500\;\text{m}^2$$

e) Sanity check com abordagem alternativa (decomposição):

A calçada em volta da piscina pode ser decomposta em:

• 4 retângulos de 20 × 5 (um em cada lado da piscina, sem os cantos): área = 4 × 100 = 400 m².
• 4 quadrados de 5 × 5 nos cantos: área = 4 × 25 = 100 m².
• Total: 400 + 100 = 500 m² ✓.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Piscina quadrada com área 400 m² → lado 20 m.
• Calçada de largura 5 m ao redor (moldura).
• Pergunta: área da calçada.

Cálculo direto: área externa (30 m de lado) − área interna (20 m) = 900 − 400 = 500 m². Alternativa D.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Lado da piscina.

$$l = \sqrt{400} = 20\;\text{m}$$

Subpasso 4.2 — Lado do quadrado externo (piscina + calçada).

$$L = 20 + 5 + 5 = 30\;\text{m}$$

Subpasso 4.3 — Área total.

$$A_{\text{total}} = 30^2 = 900\;\text{m}^2$$

Subpasso 4.4 — Área da calçada.

$$A_{\text{calçada}} = 900 - 400 = 500\;\text{m}^2$$

Subpasso 4.5 — Selecionar a alternativa.

500 m² → alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 000. ❌ Incorreta. Valor muito alto. Possivelmente surge de erro (não subtraiu ou dobrou a área).

B) 900. ❌ Incorreta. É a área total (piscina + calçada), não só a calçada. Faltou subtrair.

C) 600. ❌ Incorreta. Valor intermediário; provavelmente erro de dimensão (usar L = 28 ou similar).

D) 500. ✅ Correta. $A_{\text{calçada}} = 900 - 400 = 500$ m². Conferido pela decomposição em 4 retângulos + 4 quadrados nos cantos.

E) 400. ❌ Incorreta. É a área só dos quatro retângulos laterais (sem contar os 4 quadrados nos cantos), ou a própria área da piscina. Erro comum: esquecer os cantos da calçada.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa D — a área da calçada é 500 m², obtida por subtração: quadrado externo (30 × 30 = 900) menos quadrado interno (20 × 20 = 400).
• Padrão de cobrança ENEM: molduras, calçadas, acabamentos em construções são problemas clássicos. A técnica padrão é subtração de áreas ou decomposição em partes.
• Generalização: para moldura de largura $b$ em torno de quadrado de lado $l$:

- Lado externo: $L = l + 2b$.

- Área da moldura: $A = L^2 - l^2 = 4b(l + b)$.

• Dica de eliminação: cuidado com o fator 2 (largura é em cada lado). Esquecer os cantos gera a alternativa E (400), erro frequente.
• Conexões: tema se conecta a paisagismo, construção civil (calçadas, acabamentos), design gráfico (margens de páginas), arquitetura (decoração de exterior), e a cálculos de perímetro × largura com correção dos cantos.