Mapa de questões · 2º dia
Questão 148 — ENEM 2023
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.
Os cabos de aço formam um ângulo α com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
• opção I: h = 11 m e α = 30°
• opção II: h = 12 m e α = 45°
• opção III: h = 18 m e α = 60°
A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Trigonometria no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente), ângulos notáveis (30°, 45°, 60°), comparação de valores envolvendo radicais.
- Nível: Médio — exige aplicar $\text{cabo} = h/\sin(\alpha)$ para cada opção e comparar numericamente os três resultados.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT308 — resolver e elaborar problemas envolvendo trigonometria em triângulos retângulos para obter medidas em situações práticas.
- Gabarito oficial: C
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Dentre três opções de ângulo e altura para cabos de sustentação de mastro, qual opção tem o cabo mais curto, e qual sua medida?"
- Palavras-chave ancorais: opção I: h=11 m, α=30°; opção II: h=12 m, α=45°; opção III: h=18 m, α=60°; "cabos mais curtos".
- Armadilha antecipada: (i) usar $h \cdot \sin \alpha$ em vez de $h/\sin \alpha$ (inverter a relação); (ii) confundir $\sin$ e $\cos$ (o cabo é a hipotenusa, h é cateto oposto a α); (iii) esquecer de racionalizar para comparar (√2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73).
- Critério de acerto: em cada opção, cabo = $h/\sin \alpha$. Opção I: 11/0,5 = 22; Opção II: 12/(√2/2) = 12√2 ≈ 16,97; Opção III: 18/(√3/2) = 12√3 ≈ 20,78. Menor: Opção II, 12√2.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Geometria do cabo no triângulo retângulo:
- Mastro vertical de altura $h$.
- Cabo de aço do topo do mastro (altura $h$) ao chão, fazendo ângulo $\alpha$ com o solo.
- Triângulo retângulo: altura $h$ é o cateto oposto a $\alpha$; a base (distância do mastro ao ponto de ancoragem) é o cateto adjacente; o cabo é a hipotenusa $c$.
b) Relação trigonométrica:
$$\sin \alpha = \frac{h}{c} \;\Rightarrow\; c = \frac{h}{\sin \alpha}$$
c) Senos dos ângulos notáveis:
- $\sin 30° = 1/2 = 0{,}5$
- $\sin 45° = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}707$
- $\sin 60° = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$
d) Cálculo para cada opção:
Opção I (h = 11, α = 30°):
$$c_I = \frac{11}{\sin 30°} = \frac{11}{1/2} = 22\;\text{m}$$
Opção II (h = 12, α = 45°):
$$c_{II} = \frac{12}{\sin 45°} = \frac{12}{\sqrt{2}/2} = \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}\;\text{m} \approx 16{,}97\;\text{m}$$
Opção III (h = 18, α = 60°):
$$c_{III} = \frac{18}{\sin 60°} = \frac{18}{\sqrt{3}/2} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}\;\text{m} \approx 20{,}78\;\text{m}$$
e) Comparação:
$c_{II} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$ m (menor).
$c_{III} = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78$ m.
$c_I = 22$ m (maior).
Menor cabo → opção II → 12√2 m → alternativa C.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Três opções de instalação, cada uma com h e α diferentes.
- Cabo = $h / \sin \alpha$ para cada opção.
- Escolher aquele com menor comprimento de cabo.
Cálculo: 22, 12√2 ≈ 16,97, 12√3 ≈ 20,78. Menor: 12√2 m.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Estabelecer a relação trigonométrica.
O cabo é a hipotenusa, h é o cateto oposto ao ângulo α com o chão:
$$c = \frac{h}{\sin \alpha}$$
Subpasso 4.2 — Calcular cada opção.
- I: $c = 11/(1/2) = 22$.
- II: $c = 12/(\sqrt{2}/2) = 12\sqrt{2}$.
- III: $c = 18/(\sqrt{3}/2) = 12\sqrt{3}$.
Subpasso 4.3 — Comparar numericamente (com √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73).
- $12\sqrt{2} \approx 16{,}97$
- $12\sqrt{3} \approx 20{,}78$
- 22
Menor: $12\sqrt{2}$.
Subpasso 4.4 — Identificar a alternativa.
12√2 → alternativa C.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 22√3/3. ❌ Incorreta. Esse valor ≈ 12,7 m seria atingido com outra configuração. Não corresponde a nenhuma das três opções do problema.
B) 11√2. ❌ Incorreta. Valor ≈ 15,56 m. Pode vir de calcular $11/\sin 45°$ (usando h = 11 e α = 45°), mas isso mistura dados de duas opções. Na opção II, h = 12, não 11.
C) 12√2. ✅ Correta. Opção II: $c = 12/\sin 45° = 12/(\sqrt{2}/2) = 12\sqrt{2}$ ≈ 16,97 m, menor dos três cabos.
D) 12√3. ❌ Incorreta. É o cabo da opção III (18/sin60° = 12√3 ≈ 20,78 m), não o menor. A opção II é mais curta.
E) 22. ❌ Incorreta. É o cabo da opção I (11/sin30° = 22 m), o maior, não o menor.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa C — a opção II (h = 12 m, α = 45°) tem o cabo mais curto, com comprimento 12√2 m (≈ 16,97 m).
- Padrão de cobrança ENEM: trigonometria no triângulo retângulo aparece com frequência em cabos, rampas, sombras, escadas. Sempre identificar cateto oposto, adjacente e hipotenusa em relação ao ângulo dado.
- Generalização: regra prática — "cateto oposto vs ângulo = usar seno"; "cateto adjacente vs ângulo = usar cosseno"; "cateto oposto vs cateto adjacente = usar tangente".
- Dica de eliminação: para comparar valores com radicais, use aproximações (√2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73). Evite cair em opções que misturam h e α de opções diferentes.
- Conexões: aplicações em cabos de sustentação (torres, pontes, postes), rampas (inclinação em acessibilidade), engenharia civil (telhados, escadas), navegação (bússola e angulação), e topografia.