Questão 160 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Combinatória (arranjos sem repetição), Probabilidade (1/número de casos), ordenação de grandezas.
• Nível: Difícil — exige calcular o número de senhas possíveis em cada estrutura (I, II, III) e comparar as probabilidades $p_i = 1/N_i$ para identificar a menor.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT106 — resolver problemas de contagem e probabilidade, aplicando princípio multiplicativo.
• Gabarito oficial: A

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual estrutura de senha (I: 4 caracteres distintos; II: 3 letras + 1 número + 1 especial distintos; III: 2 letras + 2 números + 2 especiais distintos) tem a menor probabilidade de ser descoberta na 1ª tentativa?"
• Palavras-chave ancorais: 10 algarismos, 26 letras minúsculas, 26 maiúsculas, 6 especiais, 68 caracteres no total; probabilidades p₁, p₂, p₃.
• Armadilha antecipada: (i) achar que mais caracteres = menor probabilidade (nem sempre — depende do "alfabeto" de cada posição); (ii) esquecer que caracteres são distintos (arranjos, não combinações com repetição); (iii) calcular incorretamente o número de opções em cada posição.
• Critério de acerto: $N_I = 68 \times 67 \times 66 \times 65 \approx 1{,}95 \times 10^7$; $N_{II} = 52 \times 51 \times 50 \times 10 \times 6 \approx 7{,}96 \times 10^6$; $N_{III} = 52 \times 51 \times 10 \times 9 \times 6 \times 5 \approx 7{,}16 \times 10^6$. Maior N = menor p → tipo I tem menor probabilidade.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Caracteres disponíveis:

• Algarismos: 10 (0-9).
• Letras minúsculas: 26.
• Letras maiúsculas: 26.
• Caracteres especiais: 6 (!, @, #, $, , &).
• Total: 68 caracteres.

b) Princípio multiplicativo para senhas com caracteres distintos (arranjos):

• Posição 1: $k$ opções.
• Posição 2: $k-1$ opções (um já foi usado).
• Etc.

c) Cálculo para cada tipo:

Tipo I — 4 caracteres distintos de todos os 68:

$$N_I = 68 \times 67 \times 66 \times 65$$

Calculando: $68 \times 67 = 4556$; $66 \times 65 = 4290$; $N_I = 4556 \times 4290 \approx 1{,}95 \times 10^7$.

Tipo II — 3 letras (52) + 1 algarismo (10) + 1 especial (6), distintos:

$$N_{II} = 52 \times 51 \times 50 \times 10 \times 6$$

$$= 132\,600 \times 60 = 7\,956\,000 \approx 7{,}96 \times 10^6$$

Tipo III — 2 letras (52) + 2 algarismos (10) + 2 especiais (6), distintos:

$$N_{III} = 52 \times 51 \times 10 \times 9 \times 6 \times 5$$

$$= 2\,652 \times 90 \times 30 = 238\,680 \times 30 = 7\,160\,400 \approx 7{,}16 \times 10^6$$

d) Probabilidade de acertar ao acaso na primeira tentativa:

$$p_i = \frac{1}{N_i}$$

Valores:

• $p_1 \approx 5{,}1 \times 10^{-8}$ (menor)
• $p_2 \approx 1{,}26 \times 10^{-7}$
• $p_3 \approx 1{,}40 \times 10^{-7}$ (maior)

e) Ordenação: p₁ < p₂ < p₃.

Menor probabilidade = mais segura = tipo I. Razão: embora tipo I tenha apenas 4 caracteres (menos que II e III), cada posição tem 68 opções (maior variedade), o que eleva $N_I$ acima de $N_{II}$ e $N_{III}$, apesar dessas últimas terem 5 e 6 caracteres respectivamente.

f) Insight importante:

Mais caracteres não significa automaticamente mais segurança. O que importa é o tamanho do alfabeto em cada posição. Ter 4 posições com 68 opções supera ter 5 ou 6 posições com alfabetos restritos (10 ou 6 opções em algumas).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• 3 tipos de senha com composições distintas.
• Calcular número de senhas possíveis em cada tipo (arranjos sem repetição).
• Menor probabilidade = maior número de senhas = senha mais segura.

Comparação: $N_I > N_{II} > N_{III}$ → $p_1 < p_2 < p_3$ → tipo I tem menor probabilidade. Alternativa A.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular $N_I$ (tipo I).

$$N_I = 68 \times 67 \times 66 \times 65 \approx 1{,}95 \times 10^7$$

Subpasso 4.2 — Calcular $N_{II}$ (tipo II).

$$N_{II} = 52 \times 51 \times 50 \times 10 \times 6 = 7{,}96 \times 10^6$$

Subpasso 4.3 — Calcular $N_{III}$ (tipo III).

$$N_{III} = 52 \times 51 \times 10 \times 9 \times 6 \times 5 = 7{,}16 \times 10^6$$

Subpasso 4.4 — Ordenar.

$$N_I > N_{II} > N_{III}$$

$$p_I < p_{II} < p_{III}$$

Subpasso 4.5 — Escolher o tipo com menor p.

Tipo I → alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) tipo I, pois p₁ < p₂ < p₃. ✅ Correta. $N_I \approx 1{,}95 \times 10^7$, maior que $N_{II}$ e $N_{III}$, implicando $p_I$ menor.

B) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. ❌ Incorreta. O argumento está errado. "Menor quantidade de caracteres" por si só não garante menor probabilidade. A resposta é tipo I, mas a justificativa correta é pelo número total de senhas (N₁ maior), não pelo número de caracteres.

C) tipo II, pois tem maior quantidade de letras. ❌ Incorreta. $N_{II}$ é menor que $N_I$, logo $p_{II}$ é maior. Tipo II não é o mais seguro.

D) tipo III, pois p₃ < p₂ < p₁. ❌ Incorreta. Ordem invertida — na verdade, $p_1 < p_2 < p_3$, não o contrário.

E) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres. ❌ Incorreta. Erro lógico clássico: mais caracteres ≠ necessariamente maior segurança. $N_{III}$ é menor que $N_I$ apesar de III ter 6 posições e I só 4.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa A — o tipo I tem a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, pois permite o maior número de senhas distintas ($\approx 1{,}95 \times 10^7$), com $p_1 < p_2 < p_3$.
• Padrão de cobrança ENEM: combinatória aplicada a senhas e permutações é clássica. Exige aplicar o princípio multiplicativo para cada posição e comparar grandezas.
• Generalização: regra — "senha é mais segura quando o produto ($\prod \text{opções por posição}$) é maior", o que depende tanto do tamanho do alfabeto por posição quanto do número de posições. Restringir muito alfabeto em algumas posições reduz drasticamente N mesmo com muitas posições.
• Dica de eliminação: cuidado com justificativas enganosas ("mais caracteres = mais seguro"). Faça o cálculo numérico. Lembre-se: 4 posições livres (com 68 opções) supera 6 posições restritas (com misto 52/10/6).
• Conexões: tema se conecta à segurança cibernética (complexidade de senhas), à criptografia, a probabilidade condicional, à teoria da informação (entropia de senhas em bits), e a boas práticas de TI.