Questão 161 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Matemática Financeira (juros compostos, valor presente líquido), equação quadrática, fórmula de Bháskara, aproximações com radicais.
• Nível: Difícil — exige montar a equação de equivalência financeira (valor à vista = soma dos valores presentes dos pagamentos futuros), resolver quadrática e converter em taxa de juros.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT203 — aplicar conceitos matemáticos em finanças pessoais (juros compostos, financiamento, amortização).
• Gabarito oficial: D

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Produto R$1 500 à vista ou 3 × R$600 (sendo a 1ª no ato, 2ª em 30 dias, 3ª em 60 dias). Qual a taxa mensal de juros compostos embutida?"
• Palavras-chave ancorais: "aumenta em 20% o valor", "divide por 3", "primeira parcela no ato, segunda e terceira em 30 e 60 dias", √28 ≈ 5,29.
• Armadilha antecipada: (i) calcular juros simples (10% por mês? não, é composto); (ii) confundir "aumento de 20%" com a taxa mensal (20% sobre o total, não por mês); (iii) esquecer que a 1ª parcela é no ato, reduzindo o montante efetivamente financiado.
• Critério de acerto: financeiramente, o cliente pagou R$600 no ato (1ª parcela) e financiou o restante (R$900). Equação: $900=\frac{600}{1+i}+\frac{600}{(1+i{)}^2}$. Resolver para $i$.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Valor total financiado e parcela:

• À vista: R$1 500.
• Com aumento de 20%: $1500\times 1,20=1800$.
• Cada parcela: $1800/3=600$.

b) Fluxo de pagamentos (data focal = momento da compra):

• Hoje: paga 1ª parcela (600). Resta financiar: $1500-600=900$.
• Daqui a 30 dias (1 mês): paga 2ª parcela (600).
• Daqui a 60 dias (2 meses): paga 3ª parcela (600).

c) Equação de equivalência financeira:

O valor presente dos dois pagamentos futuros deve igualar ao saldo financiado (900):

$$900=\frac{600}{(1+i)}+\frac{600}{(1+i{)}^2}$$

d) Resolver a quadrática:

Seja $x=1+i$:

$$900=\frac{600}{x}+\frac{600}{x^2}$$

$$900x^2=600x+600$$

$$3x^2-2x-2=0$$

Pela fórmula de Bháskara:

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+24}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}$$

Com √28 ≈ 5,29:

$$x=\frac{2+5,29}{6}=\frac{7,29}{6}\approx 1,215$$

(A raiz negativa $x=(2-5,29)/6<0$ é descartada, pois $x=1+i>0$.)

e) Taxa de juros:

$$i=x-1\approx 1,215-1=0,215=21,5\%$$

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• À vista: R$1 500.
• Financiado: 3 parcelas de R$600 (total R$1 800 = 20% a mais).
• 1ª parcela no ato → cliente financia R$900 na prática.
• 2ª e 3ª: em 30 e 60 dias.
• Calcular taxa $i$ via equação $900=600/x+600/x^2$, com $x=1+i$.

Resultado: $i\approx 21,5\%$ ao mês. Alternativa D.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o valor total e cada parcela.

Total = 1500 × 1,20 = 1800; parcela = 1800/3 = 600.

Subpasso 4.2 — Identificar o fluxo financeiro.

Financiado = 1500 − 600 = 900 (após pagar a 1ª parcela no ato).

Pagamentos futuros: 600 em 30 dias + 600 em 60 dias.

Subpasso 4.3 — Montar a equação de valor presente.

$$900=\frac{600}{x}+\frac{600}{x^2}\text{com}x=1+i$$

Subpasso 4.4 — Transformar em quadrática.

Multiplicar tudo por $x^2$:

$$900x^2=600x+600$$

Dividir por 300:

$$3x^2-2x-2=0$$

Subpasso 4.5 — Resolver por Bháskara.

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+24}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{6}$$

Com $\sqrt{28}\approx 5,29$:

$$x\approx \frac{7,29}{6}\approx 1,215$$

Subpasso 4.6 — Converter em taxa de juros.

$$i=x-1\approx 0,215=21,5\%$$

Subpasso 4.7 — Selecionar a alternativa.

21,5% → alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 6,7%. ❌ Incorreta. Seria 20%/3, uma interpretação simplista que divide o aumento total pelas 3 parcelas — incorreto para juros compostos.

B) 10%. ❌ Incorreta. Taxa típica de juros simples mas não condiz com a equação quadrática resolvida.

C) 20%. ❌ Incorreta. É o aumento total aplicado à vista (20% sobre 1500), não a taxa mensal de juros compostos.

D) 21,5%. ✅ Correta. $i\approx 0,215$ obtido pela fórmula de Bháskara aplicada a $3x^2-2x-2=0$, usando $\sqrt{28}\approx 5,29$.

E) 23,3%. ❌ Incorreta. Valor próximo mas não exato; erro numérico.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa D — a taxa mensal de juros compostos é de 21,5%, obtida resolvendo a equação $900=600/x+600/x^2$ que iguala o valor presente dos pagamentos futuros ao saldo financiado.
• Padrão de cobrança ENEM: financiamentos "à vista ou parcelado" exigem equivalência financeira (VP = soma dos fluxos descontados). A taxa 20% embutida não é a mensal — é um acréscimo estático.
• Generalização: em financiamento de $n$ parcelas iguais com a 1ª no ato, use $(V{P}_{\text{aˋ vista}}-\text{parcela})={\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{\text{parcela}}{(1+i{)}^k}$.
• Dica de eliminação: nunca tome "aumento percentual" como taxa mensal. Também descartar respostas simples como 10% ou 20% — financiamentos reais escondem taxas significativamente maiores.
• Conexões: tema se conecta a crédito ao consumidor, CET (Custo Efetivo Total) regulamentado pelo Bacen, amortização SAC/Price, cartão de crédito e empréstimo consignado.