Mapa de questões · 2º dia
Questão 161 — ENEM 2023
Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra.
Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1 500,00.
Utilize 5,29 como aproximação para √28.
A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Matemática Financeira (juros compostos, valor presente líquido), equação quadrática, fórmula de Bháskara, aproximações com radicais.
- Nível: Difícil — exige montar a equação de equivalência financeira (valor à vista = soma dos valores presentes dos pagamentos futuros), resolver quadrática e converter em taxa de juros.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT203 — aplicar conceitos matemáticos em finanças pessoais (juros compostos, financiamento, amortização).
- Gabarito oficial: D
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Produto R$1 500 à vista ou 3 × R$600 (sendo a 1ª no ato, 2ª em 30 dias, 3ª em 60 dias). Qual a taxa mensal de juros compostos embutida?"
- Palavras-chave ancorais: "aumenta em 20% o valor", "divide por 3", "primeira parcela no ato, segunda e terceira em 30 e 60 dias", √28 ≈ 5,29.
- Armadilha antecipada: (i) calcular juros simples (10% por mês? não, é composto); (ii) confundir "aumento de 20%" com a taxa mensal (20% sobre o total, não por mês); (iii) esquecer que a 1ª parcela é no ato, reduzindo o montante efetivamente financiado.
- Critério de acerto: financeiramente, o cliente pagou R$600 no ato (1ª parcela) e financiou o restante (R$900). Equação: $900 = \frac{600}{1+i} + \frac{600}{(1+i)^2}$. Resolver para $i$.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Valor total financiado e parcela:
- À vista: R$1 500.
- Com aumento de 20%: $1\,500 \times 1{,}20 = 1\,800$.
- Cada parcela: $1\,800/3 = 600$.
b) Fluxo de pagamentos (data focal = momento da compra):
- Hoje: paga 1ª parcela (600). Resta financiar: $1\,500 - 600 = 900$.
- Daqui a 30 dias (1 mês): paga 2ª parcela (600).
- Daqui a 60 dias (2 meses): paga 3ª parcela (600).
c) Equação de equivalência financeira:
O valor presente dos dois pagamentos futuros deve igualar ao saldo financiado (900):
$$900 = \frac{600}{(1+i)} + \frac{600}{(1+i)^2}$$
d) Resolver a quadrática:
Seja $x = 1 + i$:
$$900 = \frac{600}{x} + \frac{600}{x^2}$$
$$900 x^2 = 600 x + 600$$
$$3 x^2 - 2x - 2 = 0$$
Pela fórmula de Bháskara:
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6}$$
Com √28 ≈ 5,29:
$$x = \frac{2 + 5{,}29}{6} = \frac{7{,}29}{6} \approx 1{,}215$$
(A raiz negativa $x = (2 - 5{,}29)/6 < 0$ é descartada, pois $x = 1 + i > 0$.)
e) Taxa de juros:
$$i = x - 1 \approx 1{,}215 - 1 = 0{,}215 = 21{,}5\%$$
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- À vista: R$1 500.
- Financiado: 3 parcelas de R$600 (total R$1 800 = 20% a mais).
- 1ª parcela no ato → cliente financia R$900 na prática.
- 2ª e 3ª: em 30 e 60 dias.
- Calcular taxa $i$ via equação $900 = 600/x + 600/x²$, com $x = 1 + i$.
Resultado: $i \approx 21{,}5\%$ ao mês. Alternativa D.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular o valor total e cada parcela.
Total = 1500 × 1,20 = 1800; parcela = 1800/3 = 600.
Subpasso 4.2 — Identificar o fluxo financeiro.
Financiado = 1500 − 600 = 900 (após pagar a 1ª parcela no ato).
Pagamentos futuros: 600 em 30 dias + 600 em 60 dias.
Subpasso 4.3 — Montar a equação de valor presente.
$$900 = \frac{600}{x} + \frac{600}{x^2}\;\;\text{com}\;\; x = 1 + i$$
Subpasso 4.4 — Transformar em quadrática.
Multiplicar tudo por $x^2$:
$$900 x^2 = 600 x + 600$$
Dividir por 300:
$$3 x^2 - 2 x - 2 = 0$$
Subpasso 4.5 — Resolver por Bháskara.
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6}$$
Com $\sqrt{28} \approx 5{,}29$:
$$x \approx \frac{7{,}29}{6} \approx 1{,}215$$
Subpasso 4.6 — Converter em taxa de juros.
$$i = x - 1 \approx 0{,}215 = 21{,}5\%$$
Subpasso 4.7 — Selecionar a alternativa.
21,5% → alternativa D.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 6,7%. ❌ Incorreta. Seria 20%/3, uma interpretação simplista que divide o aumento total pelas 3 parcelas — incorreto para juros compostos.
B) 10%. ❌ Incorreta. Taxa típica de juros simples mas não condiz com a equação quadrática resolvida.
C) 20%. ❌ Incorreta. É o aumento total aplicado à vista (20% sobre 1500), não a taxa mensal de juros compostos.
D) 21,5%. ✅ Correta. $i \approx 0{,}215$ obtido pela fórmula de Bháskara aplicada a $3x^2 - 2x - 2 = 0$, usando $\sqrt{28} \approx 5{,}29$.
E) 23,3%. ❌ Incorreta. Valor próximo mas não exato; erro numérico.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa D — a taxa mensal de juros compostos é de 21,5%, obtida resolvendo a equação $900 = 600/x + 600/x²$ que iguala o valor presente dos pagamentos futuros ao saldo financiado.
- Padrão de cobrança ENEM: financiamentos "à vista ou parcelado" exigem equivalência financeira (VP = soma dos fluxos descontados). A taxa 20% embutida não é a mensal — é um acréscimo estático.
- Generalização: em financiamento de $n$ parcelas iguais com a 1ª no ato, use $(VP_{\text{à vista}} - \text{parcela}) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\text{parcela}}{(1+i)^k}$.
- Dica de eliminação: nunca tome "aumento percentual" como taxa mensal. Também descartar respostas simples como 10% ou 20% — financiamentos reais escondem taxas significativamente maiores.
- Conexões: tema se conecta a crédito ao consumidor, CET (Custo Efetivo Total) regulamentado pelo Bacen, amortização SAC/Price, cartão de crédito e empréstimo consignado.