Questão 172 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Geometria Plana (triângulo, lei dos cossenos), área de círculo, relação entre tipo de triângulo e ângulos.
• Nível: Difícil — exige generalizar o teorema de Pitágoras: em triângulo obtusângulo (α > 90°), $a^2>b^2+c^2$, logo a área do círculo de diâmetro $a$ é maior que a soma das áreas dos outros dois.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT309 — resolver problemas envolvendo figuras geométricas e relações entre lados e ângulos de triângulos.
• Gabarito oficial: C (90° < α < 180°).

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para qual valor de α a área do maior círculo supera a soma das outras duas? (Dica: é uma generalização de Pitágoras.)"
• Palavras-chave ancorais: "teorema de Pitágoras garante área(C1) = área(C2) + área(C3) para triângulo retângulo", "afirmar com certeza que a área da pizza é maior que a soma", "ângulo α do triângulo formado".
• Armadilha antecipada: (i) achar que precisa de ângulo agudo (que daria o oposto); (ii) confundir ângulo reto (igualdade) com obtuso (desigualdade); (iii) ignorar a lei dos cossenos.
• Critério de acerto: Pela lei dos cossenos, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$. Se α = 90°, $\cos \alpha =0$ → $a^2=b^2+c^2$ (Pitágoras, igualdade). Se $\alpha >90°$, $\cos \alpha <0$ → $a^2>b^2+c^2$ → área(C₁) > área(C₂) + área(C₃).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Lei dos cossenos:

Em um triângulo com lados $a,b,c$ e ângulo $\alpha$ oposto ao lado $a$:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$$

b) Relação entre tipo de triângulo e o ângulo α oposto ao maior lado:

• Retângulo (α = 90°): $\cos \alpha =0\Rightarrow a^2=b^2+c^2$.
• Acutângulo (α < 90°): $\cos \alpha >0\Rightarrow a^2<b^2+c^2$.
• Obtusângulo (α > 90°): $\cos \alpha <0\Rightarrow a^2>b^2+c^2$.

c) Áreas dos círculos:

Cada círculo $C_i$ tem diâmetro $d_i$ (o lado do triângulo), logo raio $r_i=d_i/2$. Área = $\pi r^2=\pi d^2/4$.

$$\text{aˊrea}(C_1)=\frac{\pi a^2}{4},\text{aˊrea}(C_2)=\frac{\pi b^2}{4},\text{aˊrea}(C_3)=\frac{\pi c^2}{4}$$

d) Relação entre áreas:

$$\text{aˊrea}(C_1)-[\text{aˊrea}(C_2)+\text{aˊrea}(C_3)]=\frac{\pi }{4}(a^2-b^2-c^2)=\frac{\pi }{4}(-2bc\cos \alpha )=-\frac{\pi bc\cos \alpha }{2}$$

• Se $\cos \alpha >0$ (α agudo): área(C1) < área(C2) + área(C3).
• Se $\cos \alpha =0$ (α = 90°): área(C1) = área(C2) + área(C3) (Pitágoras generalizado — teorema de Hipócrates).
• Se $\cos \alpha <0$ (α obtuso, 90° < α < 180°): área(C1) > área(C2) + área(C3).

e) Restrição geométrica:

α é um ângulo interno de triângulo, então $0°<\alpha <180°$. A faixa onde α é obtuso: 90° < α < 180°.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Pizzas: círculos com diâmetros a, b, c.
• Triângulo com esses diâmetros como lados.
• α é o ângulo oposto ao lado a (maior pizza).
• Relação: área(pizza do professor, C₁) vs soma das outras duas.
• Pelo professor (afirmou que a sua é maior): α é obtuso → 90° < α < 180°.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Lei dos cossenos e relação com áreas.

Das áreas $\pi d^2/4$ e da lei dos cossenos, a diferença entre área(C₁) e (área(C₂) + área(C₃)) é proporcional a $-\cos \alpha$.

Subpasso 4.2 — Condição para área(C₁) > soma.

Necessário: $\cos \alpha <0$, ou seja, $90°<\alpha <180°$.

Subpasso 4.3 — Selecionar a alternativa.

90° < α < 180° → alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0° < α < 90°. ❌ Triângulo acutângulo — $a^2<b^2+c^2$, logo área(C₁) < soma.

B) α = 90°. ❌ Triângulo retângulo — igualdade (Pitágoras e teorema de Hipócrates).

C) 90° < α < 180°. ✅ Correta. Triângulo obtusângulo — $a^2>b^2+c^2$, logo área(C₁) > soma.

D) α = 180°. ❌ Ângulo degenerado (triângulo colapsa em reta). Impossível.

E) 180° < α < 360°. ❌ Ângulos maiores que 180° não existem em triângulos simples.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa C — a pizza do professor tem área maior que a soma das outras duas quando 90° < α < 180° (triângulo obtusângulo, pela lei dos cossenos).
• Padrão de cobrança ENEM: generalização do teorema de Pitágoras via lei dos cossenos é tema avançado. Comum em problemas de geometria com triângulos oblíquos.
• Generalização: regra trinária:

- α agudo ↔ $a^2<b^2+c^2$ (triângulo acutângulo).

- α reto ↔ $a^2=b^2+c^2$ (Pitágoras, retângulo).

- α obtuso ↔ $a^2>b^2+c^2$ (obtusângulo).

• Dica de eliminação: elimine α = 90° (igualdade), α = 180° (degenerado), α > 180° (impossível em triângulo). Entre agudo e obtuso, obtuso dá desigualdade "maior que".
• Conexões: tema se conecta ao teorema de Hipócrates (luas em triângulos retângulos), à lei dos cossenos, a geometria analítica com produto escalar, e a problemas de geometria recreacional com pizzas.