Mapa de questões · 2º dia
Questão 172 — ENEM 2023
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C₁, C₂ e C₃, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C₁) = área (C₂) + área (C₃).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo α, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Geometria Plana (triângulo, lei dos cossenos), área de círculo, relação entre tipo de triângulo e ângulos.
- Nível: Difícil — exige generalizar o teorema de Pitágoras: em triângulo obtusângulo (α > 90°), $a² > b² + c²$, logo a área do círculo de diâmetro $a$ é maior que a soma das áreas dos outros dois.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT309 — resolver problemas envolvendo figuras geométricas e relações entre lados e ângulos de triângulos.
- Gabarito oficial: C (90° < α < 180°).
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Para qual valor de α a área do maior círculo supera a soma das outras duas? (Dica: é uma generalização de Pitágoras.)"
- Palavras-chave ancorais: "teorema de Pitágoras garante área(C1) = área(C2) + área(C3) para triângulo retângulo", "afirmar com certeza que a área da pizza é maior que a soma", "ângulo α do triângulo formado".
- Armadilha antecipada: (i) achar que precisa de ângulo agudo (que daria o oposto); (ii) confundir ângulo reto (igualdade) com obtuso (desigualdade); (iii) ignorar a lei dos cossenos.
- Critério de acerto: Pela lei dos cossenos, $a² = b² + c² - 2bc \cos α$. Se α = 90°, $\cos α = 0$ → $a² = b² + c²$ (Pitágoras, igualdade). Se $\alpha > 90°$, $\cos α < 0$ → $a² > b² + c²$ → área(C₁) > área(C₂) + área(C₃).
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Lei dos cossenos:
Em um triângulo com lados $a, b, c$ e ângulo $\alpha$ oposto ao lado $a$:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$$
b) Relação entre tipo de triângulo e o ângulo α oposto ao maior lado:
- Retângulo (α = 90°): $\cos α = 0 \Rightarrow a² = b² + c²$.
- Acutângulo (α < 90°): $\cos α > 0 \Rightarrow a² < b² + c²$.
- Obtusângulo (α > 90°): $\cos α < 0 \Rightarrow a² > b² + c²$.
c) Áreas dos círculos:
Cada círculo $C_i$ tem diâmetro $d_i$ (o lado do triângulo), logo raio $r_i = d_i/2$. Área = $\pi r² = \pi d²/4$.
$$\text{área}(C_1) = \frac{\pi a^2}{4}, \quad \text{área}(C_2) = \frac{\pi b^2}{4}, \quad \text{área}(C_3) = \frac{\pi c^2}{4}$$
d) Relação entre áreas:
$$\text{área}(C_1) - [\text{área}(C_2) + \text{área}(C_3)] = \frac{\pi}{4}(a^2 - b^2 - c^2) = \frac{\pi}{4}(-2bc \cos α) = -\frac{\pi bc \cos α}{2}$$
- Se $\cos α > 0$ (α agudo): área(C1) < área(C2) + área(C3).
- Se $\cos α = 0$ (α = 90°): área(C1) = área(C2) + área(C3) (Pitágoras generalizado — teorema de Hipócrates).
- Se $\cos α < 0$ (α obtuso, 90° < α < 180°): área(C1) > área(C2) + área(C3).
e) Restrição geométrica:
α é um ângulo interno de triângulo, então $0° < α < 180°$. A faixa onde α é obtuso: 90° < α < 180°.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Pizzas: círculos com diâmetros a, b, c.
- Triângulo com esses diâmetros como lados.
- α é o ângulo oposto ao lado a (maior pizza).
- Relação: área(pizza do professor, C₁) vs soma das outras duas.
- Pelo professor (afirmou que a sua é maior): α é obtuso → 90° < α < 180°.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Lei dos cossenos e relação com áreas.
Das áreas $\pi d²/4$ e da lei dos cossenos, a diferença entre área(C₁) e (área(C₂) + área(C₃)) é proporcional a $-\cos α$.
Subpasso 4.2 — Condição para área(C₁) > soma.
Necessário: $\cos α < 0$, ou seja, $90° < α < 180°$.
Subpasso 4.3 — Selecionar a alternativa.
90° < α < 180° → alternativa C.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 0° < α < 90°. ❌ Triângulo acutângulo — $a² < b² + c²$, logo área(C₁) < soma.
B) α = 90°. ❌ Triângulo retângulo — igualdade (Pitágoras e teorema de Hipócrates).
C) 90° < α < 180°. ✅ Correta. Triângulo obtusângulo — $a² > b² + c²$, logo área(C₁) > soma.
D) α = 180°. ❌ Ângulo degenerado (triângulo colapsa em reta). Impossível.
E) 180° < α < 360°. ❌ Ângulos maiores que 180° não existem em triângulos simples.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa C — a pizza do professor tem área maior que a soma das outras duas quando 90° < α < 180° (triângulo obtusângulo, pela lei dos cossenos).
- Padrão de cobrança ENEM: generalização do teorema de Pitágoras via lei dos cossenos é tema avançado. Comum em problemas de geometria com triângulos oblíquos.
- Generalização: regra trinária:
- α agudo ↔ $a² < b² + c²$ (triângulo acutângulo).
- α reto ↔ $a² = b² + c²$ (Pitágoras, retângulo).
- α obtuso ↔ $a² > b² + c²$ (obtusângulo).
- Dica de eliminação: elimine α = 90° (igualdade), α = 180° (degenerado), α > 180° (impossível em triângulo). Entre agudo e obtuso, obtuso dá desigualdade "maior que".
- Conexões: tema se conecta ao teorema de Hipócrates (luas em triângulos retângulos), à lei dos cossenos, a geometria analítica com produto escalar, e a problemas de geometria recreacional com pizzas.