Mapa de questões · 2º dia
Questão 142 — ENEM 2023
A água utilizada pelos 75 moradores de um vilarejo provém de um reservatório de formato cilíndrico circular reto cujo raio da base mede 5 metros, sempre abastecido no primeiro dia de cada mês por caminhões-pipa. Cada morador desse vilarejo consome, em média, 200 litros de água por dia.
No mês de junho de um determinado ano, o vilarejo festejou o dia do seu padroeiro e houve um gasto extra de água nos primeiros 20 dias. Passado esse período, as pessoas verificaram a quantidade de água presente no reservatório e constataram que o nível da coluna de água estava em 1,5 metro. Decidiram, então, fazer um racionamento de água durante os 10 dias seguintes. Considere 3 como aproximação para π.
Qual é a quantidade mínima de água, em litro, que cada morador, em média, deverá economizar por dia, de modo que o reservatório não fique sem água nos próximos 10 dias?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Geometria Espacial (volume de cilindro), conversão de m³ para litros, aritmética (divisão e subtração).
- Nível: Médio — exige calcular o volume de água disponível, comparar com o consumo projetado para 10 dias e distribuir a diferença entre 75 moradores × 10 dias.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT310 — resolver problemas que envolvem volumes e conversões de unidades em contextos reais (abastecimento, reservatórios).
- Gabarito oficial: A
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Reservatório cilíndrico r=5 m com 1,5 m de coluna d'água; 75 moradores que consomem 200 L/dia. Quanto cada um deve economizar por dia para a água durar 10 dias?"
- Palavras-chave ancorais: raio 5 m, altura atual da água 1,5 m, 75 moradores, 200 L/dia por pessoa, 10 dias de racionamento, π = 3, "economizar em litros por morador por dia".
- Armadilha antecipada: (i) esquecer de converter m³ em L (1 m³ = 1000 L); (ii) não dividir a economia pelos 75 moradores e pelos 10 dias (só por um ou outro); (iii) calcular apenas o consumo normal sem comparar com o disponível.
- Critério de acerto: volume disponível = π·r²·h = 3·25·1,5 = 112,5 m³ = 112 500 L. Consumo necessário em 10 dias = 75 × 200 × 10 = 150 000 L. Déficit = 150 000 − 112 500 = 37 500 L. Economia por pessoa por dia = 37 500 / (75 × 10) = 50 L.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Volume de cilindro reto:
$$V = \pi r^2 h$$
Com π = 3, r = 5 m, h = 1,5 m:
$$V = 3 \times 25 \times 1{,}5 = 112{,}5\;\text{m}^3$$
b) Conversão m³ → L:
$$1\;\text{m}^3 = 1\,000\;\text{L}$$
$$112{,}5\;\text{m}^3 = 112\,500\;\text{L}$$
c) Consumo total sem racionamento nos próximos 10 dias:
$$C_{\text{total}} = 75 \text{ moradores} \times 200\;\text{L/dia} \times 10\;\text{dias} = 150\,000\;\text{L}$$
d) Déficit:
$$D = 150\,000 - 112\,500 = 37\,500\;\text{L}$$
Precisa economizar 37 500 L ao longo dos 10 dias para a água não faltar.
e) Economia por morador por dia:
$$E = \frac{D}{75 \text{ moradores} \times 10\;\text{dias}} = \frac{37\,500}{750} = 50\;\text{L/dia}$$
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Reservatório: cilindro com área da base = π·r² = 3 × 25 = 75 m². Altura da coluna d'água = 1,5 m.
- Volume disponível: 75 × 1,5 = 112,5 m³ = 112 500 L.
- Precisa durar 10 dias.
- Consumo normal: 75 × 200 × 10 = 150 000 L.
- Déficit: 37 500 L.
- Economia por pessoa por dia = déficit / (75 × 10) = 50 L.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Volume disponível no reservatório.
Área da base: $A = \pi r^2 = 3 \times 5^2 = 75\;\text{m}^2$.
Volume: $V = A \times h = 75 \times 1{,}5 = 112{,}5\;\text{m}^3 = 112\,500\;\text{L}$.
Subpasso 4.2 — Consumo necessário em 10 dias (sem economia).
$$C = 75 \times 200 \times 10 = 150\,000\;\text{L}$$
Subpasso 4.3 — Déficit.
$$D = 150\,000 - 112\,500 = 37\,500\;\text{L}$$
Subpasso 4.4 — Economia por pessoa por dia.
$$E = \frac{37\,500}{75 \times 10} = \frac{37\,500}{750} = 50\;\text{L/dia por pessoa}$$
Subpasso 4.5 — Selecionar a alternativa.
50 L → alternativa A.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 50. ✅ Correta. Déficit de 37 500 L ÷ (75 × 10) = 50 L/dia por pessoa.
B) 60. ❌ Incorreta. Pode surgir de um pequeno erro aritmético (e.g., tomar altura 1,4 m em vez de 1,5). Não bate.
C) 80. ❌ Incorreta. Valor muito alto — reduziria o consumo per capita a 120 L/dia, economizando mais do que o necessário (seria prudente, mas não é o mínimo pedido).
D) 140. ❌ Incorreta. Valor excessivo — quase o consumo total de cada pessoa. Inviável e desnecessário.
E) 150. ❌ Incorreta. Três vezes o necessário — impossível como mínimo requerido.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa A — cada morador deve economizar no mínimo 50 L/dia durante os 10 dias de racionamento, para que os 112 500 L disponíveis no reservatório cubram o consumo total reduzido.
- Padrão de cobrança ENEM: cálculos de abastecimento com volume de sólidos geométricos + conversão de unidades + distribuição por pessoa/dia é tema frequente.
- Generalização: algoritmo:
(1) Volume disponível (geometria + conversão de unidades).
(2) Consumo total necessário = pessoas × consumo per capita × dias.
(3) Déficit = consumo − disponível.
(4) Economia per capita = déficit / (pessoas × dias).
- Dica de eliminação: sempre verifique unidades (m³ vs L) e se a divisão final é por pessoas E por dias. Esquecer um dos fatores dá resultado 10× ou 75× maior.
- Conexões: tema se conecta à crise hídrica (planejamento de reservatórios), à cobrança por consumo (política tarifária da Sabesp), à modelagem de consumo em ambientes urbanos, e ao balanço hídrico em agricultura.