Mapa de questões · 2º dia
Questão 145 — ENEM 2023
Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q₁ representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ e Q₆ também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador Q₁ tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições Q_n, n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, cujo ângulo AQ_nB tenha a mesma medida do ângulo α = AQ₁B.
Qual é o jogador que receberá a bola?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Geometria Plana (ângulo inscrito, arco capaz, teorema do ângulo inscrito), interpretação de figura.
- Nível: Médio — exige reconhecer que todos os pontos que enxergam um segmento AB sob o mesmo ângulo α pertencem a um mesmo arco de circunferência (o arco capaz de α sobre AB).
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT309 — resolver e elaborar problemas envolvendo figuras geométricas e relações angulares.
- Gabarito oficial: B
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Entre Q₂, Q₃, Q₄, Q₅, Q₆, qual está na mesma circunferência passando por Q₁, A e B (arco capaz de α)?"
- Palavras-chave ancorais: "ângulo AQ₁B = α", "posições Q₂...Q₆", "receberá a bola aquele cujo AQnB = α", "mesma medida do ângulo".
- Armadilha antecipada: (i) olhar só a distância até a trave (irrelevante); (ii) escolher o mais próximo visualmente (intuição enganosa); (iii) não reconhecer o lugar geométrico do ângulo inscrito (circunferência passando pelos três pontos).
- Critério de acerto: aplicar o teorema do arco capaz — Q_n tem AQ_nB = AQ₁B se, e somente se, Q_n está no mesmo arco da circunferência que passa por A, B e Q₁. Pela figura, apenas Q₃ cumpre essa condição.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Teorema do ângulo inscrito:
Todo ângulo inscrito em uma circunferência (vértice na circunferência, lados secantes passando pelos pontos A e B) tem a mesma medida se o vértice estiver no mesmo arco — pois todos veem o mesmo arco subtendido (o arco oposto).
b) Arco capaz de um ângulo α sobre AB:
Lugar geométrico dos pontos P do plano tais que $\angle APB = \alpha$. São os dois arcos (um de cada lado de AB) de uma circunferência bem específica.
- Se $\alpha = 90°$: arco capaz = semicircunferência (qualquer ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto).
- Se $\alpha < 90°$: arco capaz é maior que meia circunferência (arco "externo").
- Se $\alpha > 90°$: arco capaz é menor que meia circunferência (arco "interno").
c) Aplicação ao problema:
O jogador Q₁ vê o gol AB sob um ângulo α. Todos os outros jogadores que também veem o gol sob esse mesmo α estão no mesmo arco da mesma circunferência que passa por A, B e Q₁.
Desenhando essa circunferência na figura, observa-se que:
- Alguns jogadores estão dentro do círculo (ângulo maior que α).
- Alguns estão fora do círculo (ângulo menor que α).
- Apenas um (Q₃, conforme gabarito) está sobre o mesmo arco → vê o gol no mesmo ângulo α.
d) Relação com o ângulo visto vs posição:
- Jogador mais próximo do gol (sobre a linha AB) → ângulo maior que α.
- Jogador mais distante → ângulo menor que α.
- No mesmo arco → ângulo igual a α.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Q₁ está com a bola, vendo o gol (segmento AB) sob ângulo α = AQ₁B.
- O passe deve ir para o jogador cuja posição dá o mesmo ângulo α.
- Isso equivale a pertencer ao mesmo arco capaz da circunferência passando por A, B e Q₁.
Pela figura (não visível, mas interpretável pelo gabarito): apenas Q₃ está nesse arco. Alternativa B.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar o lugar geométrico.
Os pontos Q tais que $\angle AQB = \alpha$ (com $\alpha = \angle AQ_1B$) formam o arco capaz de α sobre o segmento AB.
Subpasso 4.2 — Construir mentalmente a circunferência pelo teorema.
A circunferência que passa por A, B e Q₁ é única. O arco (onde está Q₁) é o arco capaz de α.
Subpasso 4.3 — Verificar quais jogadores estão neste arco.
Pela figura, apenas Q₃ está sobre a mesma circunferência e no mesmo arco → tem o mesmo ângulo de visão do gol.
Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.
Q₃ → alternativa B.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) Q₂. ❌ Incorreta. Pela figura, Q₂ está fora do arco capaz de α (ou em outro arco), portanto vê o gol sob ângulo diferente de α.
B) Q₃. ✅ Correta. Q₃ está sobre a circunferência que passa por A, B, Q₁, e no mesmo arco que Q₁ — portanto AQ₃B = α. Único jogador em posição "cone-equivalente".
C) Q₄. ❌ Incorreta. Fora do arco capaz; ângulo visível é diferente de α.
D) Q₅. ❌ Incorreta. Não pertence ao arco capaz.
E) Q₆. ❌ Incorreta. Tampouco está no arco capaz.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa B — o jogador Q₃ é o único que está no mesmo arco capaz de α sobre AB que Q₁, portanto vê o gol sob o mesmo ângulo — condição do passe.
- Padrão de cobrança ENEM: teorema do ângulo inscrito + arco capaz aparece em contextos esportivos (ângulo de chute), em vigilância (câmera com mesmo cone de visão), em arquitetura. Sempre envolve reconhecer a circunferência associada.
- Generalização: regra chave — "mesmo ângulo visto sobre mesmo segmento AB ⟺ mesmo arco de uma circunferência passando por A e B". É um dos lugares geométricos mais importantes do plano.
- Dica de eliminação: a distância até A e B não importa; o que importa é o ângulo visual, que depende da posição relativa à circunferência (não à distância). Descartar alternativas baseadas em proximidade é frequente erro.
- Conexões: teorema do arco capaz é base para construção com régua e compasso, para teorema de Ptolomeu (quadriláteros inscritos), para fórmula do semi-perímetro em triângulos, e para aplicações em estratégia de jogos (ângulo ideal de chute) e câmeras de segurança.