Questão 170 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Função quadrática (identificação de mínimo), cálculo de vértice, classificação em faixas.
• Nível: Médio — exige calcular o vértice da parábola $V(x) = x²/4 − 10x + 105$, identificar o valor mínimo $V_0$ e enquadrar nas categorias dadas.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT404 — analisar funções quadráticas e suas propriedades (máximos, mínimos, zeros).
• Gabarito oficial: D (Ruim).

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor valor $V_0$ da função $V(x) = x²/4 − 10x + 105$ no intervalo x ∈ [1, 30], e em qual categoria ele se enquadra?"
• Palavras-chave ancorais: V(x) quadrática, dias 1 a 30, menor montante $V_0$, classificação em Ótimo/Bom/Normal/Ruim/Péssimo.
• Armadilha antecipada: (i) calcular V(1) ou V(30) em vez do vértice; (ii) errar a fórmula do vértice ($x_v = -b/2a$); (iii) esquecer de verificar se o vértice está no intervalo [1, 30].
• Critério de acerto: parábola com concavidade para cima ($a = 1/4 > 0$); vértice em $x_v = 10/(2 \cdot 1/4) = 20$ (dentro de [1, 30]); $V(20) = 400/4 - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5$. Classificação: $V_0 = 5$ está em "Ruim" ($4 \leq V_0 < 10$).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Função quadrática:

$$V(x) = a x^2 + b x + c$$

Com $a = 1/4$, $b = -10$, $c = 105$. Como $a > 0$, a parábola tem concavidade para cima e possui valor mínimo no vértice.

b) Abscissa do vértice:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1/4} = \frac{10}{1/2} = 20$$

c) Verificar que $x_v$ está no intervalo [1, 30]:

$x_v = 20$, sim está no intervalo. Logo, o menor valor de V em [1, 30] é $V(20)$.

d) Valor do mínimo:

$$V(20) = \frac{20^2}{4} - 10 \cdot 20 + 105 = \frac{400}{4} - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5$$

e) Classificação segundo as categorias:

• Ótimo: $V_0 \geq 24$ → não.
• Bom: $20 \leq V_0 < 24$ → não.
• Normal: $10 \leq V_0 < 20$ → não.
• Ruim: $4 \leq V_0 < 10$ → SIM (5 está aqui).
• Péssimo: $V_0 < 4$ → não.

$V_0 = 5$ → Ruim → alternativa D.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• V(x) quadrática, parábola com mínimo.
• $x_v = 20$ (dentro do mês).
• $V_0 = V(20) = 5$.
• Categoria: "Ruim" (4 ≤ V₀ < 10).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar a forma da parábola.

$a = 1/4 > 0$ → concavidade para cima → valor mínimo no vértice.

Subpasso 4.2 — Calcular $x_v$.

$$x_v = -\frac{-10}{2 \cdot 1/4} = \frac{10}{1/2} = 20$$

Subpasso 4.3 — Calcular $V_0 = V(20)$.

$$V(20) = \frac{400}{4} - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5$$

Subpasso 4.4 — Classificar.

$V_0 = 5$ está em [4, 10) → Ruim.

Subpasso 4.5 — Selecionar a alternativa.

Ruim → alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Ótimo. ❌ Exige $V_0 \geq 24$; não é o caso.

B) Bom. ❌ Exige $20 \leq V_0 < 24$; não é.

C) Normal. ❌ Exige $10 \leq V_0 < 20$; $V_0 = 5$ está abaixo.

D) Ruim. ✅ Correta. $V_0 = 5$ está em $[4, 10)$.

E) Péssimo. ❌ Exige $V_0 < 4$; $V_0 = 5$ está acima.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa D — o menor montante diário é $V_0 = 5$ milhares de reais, atingido em $x = 20$, classificando o desempenho como Ruim (4 ≤ V₀ < 10).
• Padrão de cobrança ENEM: função quadrática com classificação em faixas é comum. Sempre calcular o vértice primeiro e verificar se está no intervalo de definição.
• Generalização: para mínimo de $ax^2 + bx + c$ com $a > 0$:

$x_v = -b/(2a)$ e $V_0 = c - b^2/(4a)$.

• Dica de eliminação: verifique se $V_0$ cai em uma faixa específica das categorias. Aqui, 5 cai sem ambiguidade na faixa [4, 10).
• Conexões: tema se conecta a trajetórias balísticas (altura máxima), custo mínimo em otimização empresarial, geometria analítica (parábolas) e máximos/mínimos em cálculo.