Mapa de questões · 2º dia
Questão 138 — ENEM 2023
Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Probabilidade (eventos independentes, probabilidade do produto), interpretação de fração, álgebra básica (inequação).
- Nível: Médio — exige calcular o número de bolinhas brancas originais na urna B, depois resolver uma inequação para encontrar o número mínimo a adicionar para que a probabilidade composta fique ≤ 1%.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT106 — resolver problemas envolvendo probabilidade de eventos em situações práticas, utilizando o princípio multiplicativo.
- Gabarito oficial: C
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Urna A: P(preta) = 20%. Urna B: 4 pretas + X brancas. Se o cliente ganha o voucher retirando uma preta de cada urna, quantas brancas a mais devem ser adicionadas à urna B para que P(voucher) ≤ 1%?"
- Palavras-chave ancorais: "P(preta A) = 20%", "P(preta B) inicial = 25%", "4 bolinhas pretas na B", "probabilidade de ganhar voucher ≤ 1%", "número mínimo de brancas a adicionar".
- Armadilha antecipada: (i) esquecer que a urna B já tem brancas originalmente (12 delas, pois 4/(4+12) = 25%); (ii) responder o número total de brancas em vez do número a adicionar (76 vs 64); (iii) usar proporção simples em vez do produto de probabilidades.
- Critério de acerto: P(voucher) = P(preta A) × P(preta B) ≤ 0,01; resolver para encontrar P(preta B) ≤ 0,05; calcular número total de brancas na urna B; subtrair as 12 originais para obter o número a adicionar = 64.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Princípio multiplicativo (eventos independentes):
Se dois eventos $A$ e $B$ são independentes:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Aqui: retirada na urna A é independente da retirada na urna B.
b) Condições iniciais:
- Urna A: P(preta) = 0,20 = 20%.
- Urna B: P(preta) = 0,25 = 25%.
- P(voucher inicial) = 0,20 × 0,25 = 0,05 = 5%.
c) Composição inicial da urna B:
P(preta B) = 4 / (4 + brancas_iniciais) = 0,25
⇒ 4 + brancas_iniciais = 16
⇒ brancas_iniciais = 12.
Total inicial na urna B: 4 pretas + 12 brancas = 16.
d) Nova condição: P(voucher) ≤ 0,01 (1%).
$$P(\text{voucher}) = 0{,}20 \cdot P(\text{preta B}) \leq 0{,}01$$
$$P(\text{preta B}) \leq \frac{0{,}01}{0{,}20} = 0{,}05 = 5\%$$
e) Novo número de bolinhas brancas (b) na urna B:
$$P(\text{preta B}) = \frac{4}{4 + b} \leq 0{,}05$$
$$\frac{4}{4 + b} \leq \frac{1}{20}$$
$$4 \cdot 20 \leq 4 + b$$
$$80 \leq 4 + b$$
$$b \geq 76$$
Então total de brancas na urna B após ajuste = 76.
f) Número a adicionar:
$$\Delta b = b_{\text{final}} - b_{\text{inicial}} = 76 - 12 = 64$$
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Urna A: P(preta) = 20%. Não muda.
- Urna B: começa com 4 pretas e 12 brancas (total 16), P(preta) = 25%.
- Nova regra: P(voucher) ≤ 1%.
- Pergunta: quantas brancas adicionar à urna B?
Resposta pela inequação: adicionar pelo menos 64 brancas. Gabarito C.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Traduzir a condição desejada.
$$P(\text{voucher}) = P(\text{preta A}) \cdot P(\text{preta B}) \leq 0{,}01$$
Subpasso 4.2 — Isolar P(preta B).
$$P(\text{preta B}) \leq \frac{0{,}01}{0{,}20} = 0{,}05$$
Subpasso 4.3 — Escrever P(preta B) em função do número de brancas.
Urna B tem 4 pretas e $b$ brancas (a determinar):
$$\frac{4}{4 + b} \leq 0{,}05$$
Subpasso 4.4 — Resolver a inequação.
$$\frac{4}{4 + b} \leq \frac{1}{20}$$
$$4 \cdot 20 \leq 4 + b$$
$$b \geq 76$$
Subpasso 4.5 — Calcular quantas bolas brancas devem ser acrescentadas.
Inicialmente havia 12 brancas. Para ter 76, deve adicionar:
$$\Delta = 76 - 12 = 64$$
Subpasso 4.6 — Verificar.
Com $b = 76$: P(preta B) = 4/80 = 1/20 = 5%. P(voucher) = 0,2 × 0,05 = 0,01 = 1% ✓.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 20. ❌ Incorreta. Muito pouco. Com 20 brancas adicionais (total 32), P(preta B) = 4/36 ≈ 11%; P(voucher) = 0,2 × 0,11 ≈ 2,2% > 1%.
B) 60. ❌ Incorreta. Com 60 adicionais (total 72), P(preta B) = 4/76 ≈ 5,3%; P(voucher) ≈ 1,05% > 1%. Muito perto, mas ainda excede 1%.
C) 64. ✅ Correta. Com 64 adicionais (total 76), P(preta B) = 4/80 = 5%; P(voucher) = 0,2 × 0,05 = 1% ≤ 1%. Valor mínimo que satisfaz a condição.
D) 68. ❌ Incorreta. Válido (satisfaria a condição), mas não é o mínimo. 64 já é suficiente, então 68 seria excessivo.
E) 80. ❌ Incorreta. Também excessivo — número muito além do mínimo necessário.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa C — o gerente deve adicionar 64 bolinhas brancas à urna B. Isso leva o total a 76 brancas + 4 pretas = 80, fazendo P(preta B) = 5% e P(voucher) = 0,2 × 0,05 = 1% (exatamente no limite).
- Padrão de cobrança ENEM: eventos independentes + probabilidade condicional + restrições algébricas é combinação frequente. A chave é sempre (i) identificar o princípio multiplicativo e (ii) traduzir as restrições em inequações.
- Generalização: quando um parâmetro (aqui, bolinhas brancas) controla a probabilidade, isole a variável e aplique a inequação. Para "valor mínimo" de bolinhas adicionais, escolha o menor inteiro que satisfaz a desigualdade.
- Dica de eliminação: sempre verifique se o total inicial já foi contabilizado. A pergunta é sobre adicionar, não sobre o total final. Confundir os dois é o erro mais comum.
- Conexões: relaciona-se a jogos de azar (loterias, cassinos), promoções de varejo, controle de qualidade (probabilidade de defeito), genética (leis de Mendel — eventos independentes para alelos), e a modelagem matemática de riscos.