Mapa de questões · 2º dia
Questão 158 — ENEM 2023
Um pescador tem um custo fixo diário de R$ 900,00 com combustível, iscas, manutenção de seu barco e outras pequenas despesas. Ele vende cada quilograma de peixe por R$ 5,00. Sua meta é obter um lucro mínimo de R$ 800,00 por dia. Sozinho, ele consegue, ao final de um dia de trabalho, pescar 180 kg de peixe, o que é suficiente apenas para cobrir o custo fixo diário. Portanto, precisa contratar ajudantes, pagando para cada um R$ 250,00 por dia de trabalho. Além desse valor, 4% da receita obtida pela venda de peixe é repartida igualmente entre os ajudantes. Considerando o tamanho de seu barco, ele pode contratar até 5 ajudantes. Ele sabe que com um ajudante a pesca diária é de 300 kg e que, a partir do segundo ajudante contratado, aumenta-se em 100 kg a quantidade de peixe pescada por ajudante em um dia de trabalho.
A quantidade mínima de ajudantes que esse pescador precisa contratar para conseguir o lucro diário pretendido é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Álgebra (equações lineares, função custo-receita-lucro), interpretação de texto com múltiplas informações financeiras.
- Nível: Difícil — exige construir a função lucro em função do número de ajudantes, considerando salário fixo + comissão de 4% da receita, e testar para cada valor (0 a 5 ajudantes) até encontrar o mínimo que atinge a meta de R$ 800 de lucro.
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT507 — identificar e representar em gráficos funções afins ou polinomiais que expressam situações práticas; analisar comportamento para decisões.
- Gabarito oficial: D
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Quantos ajudantes o pescador precisa contratar para ter lucro ≥ R$ 800 por dia?"
- Palavras-chave ancorais: custo fixo 900, venda 5/kg, meta de lucro 800, sozinho 180 kg, 1 ajudante 300 kg, 2+ ajudantes +100 kg cada, pagamento 250 + 4% da receita dividida entre ajudantes.
- Armadilha antecipada: (i) esquecer do 4% da receita para os ajudantes; (ii) errar a função de produção (180, 300, 400, 500, 600, 700 kg); (iii) esquecer de subtrair o custo fixo.
- Critério de acerto: para cada $n$ ajudantes, calcular produção, receita, custos totais (fixos + salários + comissão) e lucro líquido. Escolher o menor $n$ com lucro ≥ 800.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Produção em função do número de ajudantes (n):
| Ajudantes (n) | Produção (kg) | Receita R = 5·kg |
|---|---|---|
| 0 | 180 | 900 |
| 1 | 300 | 1 500 |
| 2 | 400 | 2 000 |
| 3 | 500 | 2 500 |
| 4 | 600 | 3 000 |
| 5 | 700 | 3 500 |
b) Custos:
- Fixo: 900 (sempre).
- Salários: 250 × n.
- Comissão: 4% da receita = 0,04 R (distribuída entre ajudantes; custo total para o pescador).
c) Lucro:
$$L = R - 900 - 250n - 0{,}04R = 0{,}96R - 900 - 250n$$
d) Meta: L ≥ 800.
$$0{,}96R - 900 - 250n \geq 800$$
$$0{,}96R \geq 1700 + 250n$$
e) Teste para cada n:
| n | R | 0,96R | 1700 + 250n | Lucro (0,96R − 900 − 250n) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 900 | 864 | 1700 | 864 − 900 = −36 (prejuízo, não é lucro ≥ 800) |
| 1 | 1500 | 1440 | 1950 | 1440 − 900 − 250 = 290 (insuficiente) |
| 2 | 2000 | 1920 | 2200 | 1920 − 900 − 500 = 520 (insuficiente) |
| 3 | 2500 | 2400 | 2450 | 2400 − 900 − 750 = 750 (insuficiente, 750 < 800) |
| 4 | 3000 | 2880 | 2700 | 2880 − 900 − 1000 = 980 (≥ 800 ✓) |
| 5 | 3500 | 3360 | 2950 | 3360 − 900 − 1250 = 1210 (suficiente, mas não o mínimo) |
f) Mínimo de ajudantes que atende a meta:
n = 4 (lucro = 980 ≥ 800).
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Custo fixo: 900. Venda: 5/kg. Meta lucro: 800.
- Produção por n ajudantes (dada a sequência).
- Remuneração por ajudante: 250 fixo + parte da comissão de 4%.
Calcular lucro líquido para cada n e encontrar o mínimo tal que L ≥ 800.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Escrever a função lucro.
$$L(n) = 0{,}96 \cdot R(n) - 900 - 250n$$
Onde $R(n) = 5 \cdot \text{produção}(n)$.
Subpasso 4.2 — Calcular L(n) para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
- $L(0) = -36$
- $L(1) = 290$
- $L(2) = 520$
- $L(3) = 750$
- $L(4) = 980$
- $L(5) = 1210$
Subpasso 4.3 — Identificar o menor n com L ≥ 800.
$L(3) = 750 < 800$; $L(4) = 980 ≥ 800$. Mínimo: n = 4.
Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.
4 → alternativa D.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 1. ❌ Incorreta. L(1) = 290; muito aquém da meta de 800.
B) 2. ❌ Incorreta. L(2) = 520; ainda insuficiente.
C) 3. ❌ Incorreta. L(3) = 750; por 50 reais abaixo da meta. Erro comum: usar L(3) = 750 como suficiente.
D) 4. ✅ Correta. L(4) = 980; supera a meta de 800. Mínimo de ajudantes necessário.
E) 5. ❌ Incorreta. L(5) = 1210; excede a meta, mas não é o mínimo.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa D — o pescador precisa contratar 4 ajudantes para atingir a meta de R$ 800 de lucro diário, obtendo lucro real de R$ 980.
- Padrão de cobrança ENEM: problemas financeiros com variáveis discretas (n ajudantes inteiros) exigem testar cada valor até atender a restrição, ou resolver inequação algébrica.
- Generalização: função lucro típica $L = aR - bN - c$ com crescimento de produção em $N$. Testar iterativamente é o método mais seguro quando a função de produção não é linear.
- Dica de eliminação: sempre verifique a condição no valor escolhido (n = 4 dá 980, que ultrapassa 800). Nunca pare no primeiro valor "alto" sem verificar.
- Conexões: aplicação em gestão de pequenos negócios, otimização de equipes, microeconomia (teoria da firma), agronomia (produção por trabalhador), e pesquisa operacional (programação linear).