Questão 175 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Álgebra (sistema linear 2×2), substituição, aritmética com decimais.
• Nível: Médio — exige montar duas equações a partir do texto e resolver para encontrar os preços unitários, depois calcular o valor da cartela.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT507 — modelar problemas práticos com sistemas lineares.
• Gabarito oficial: B (R$ 6,30).

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que 2 cartelas azuis + 1 vermelha = R$32,40 e que preço azul − preço vermelho = preço vermelho + R$0,05, qual o valor de uma cartela vermelha?"
• Palavras-chave ancorais: 2 cartelas azuis + 1 vermelha = R$32,40; preço azul menos vermelho = vermelho mais 5 centavos; cartela = 9 tíquetes.
• Armadilha antecipada: (i) confundir preço de tíquete com preço de cartela; (ii) errar a equação "A − V = V + 0,05" → A = 2V + 0,05; (iii) responder o preço de um tíquete em vez da cartela.
• Critério de acerto: A = 2V + 0,05; 18A + 9V = 32,40 → 2A + V = 3,60; substituir A = 2V + 0,05: 2(2V+0,05) + V = 3,60 → 5V = 3,50 → V = 0,70; cartela vermelha = 9 × 0,70 = R$6,30.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Definir variáveis:

• $A$ = preço de 1 tíquete azul.
• $V$ = preço de 1 tíquete vermelho.

b) Equação 1 (custo de 2 cartelas azuis + 1 vermelha):

• 2 cartelas azuis = 18 tíquetes azuis = 18A.
• 1 cartela vermelha = 9 tíquetes vermelhos = 9V.
• $18A + 9V = 32{,}40 \;\Rightarrow\; 2A + V = 3{,}60$ (dividindo por 9).

c) Equação 2 (relação entre preços):

"Azul − vermelho = vermelho + 5 centavos":

$$A - V = V + 0{,}05 \;\Rightarrow\; A = 2V + 0{,}05$$

d) Resolver o sistema:

Substituindo em Eq. 1:

$$2(2V + 0{,}05) + V = 3{,}60$$

$$4V + 0{,}10 + V = 3{,}60$$

$$5V = 3{,}50$$

$$V = 0{,}70\;\text{R}\$$$

e) Preço da cartela vermelha:

$$\text{Cartela vermelha} = 9 \times 0{,}70 = R\$6{,}30$$

f) Sanity check:

• $A = 2(0{,}70) + 0{,}05 = 1{,}45$ R$.
• 2 cartelas azuis = 18 × 1,45 = 26,10 R$.
• 1 cartela vermelha = 9 × 0,70 = 6,30 R$.
• Total: 26,10 + 6,30 = 32,40 R$ ✓.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Cartela = 9 tíquetes.
• 2 cartelas azuis + 1 vermelha = R$32,40.
• A − V = V + 0,05 → A = 2V + 0,05.
• Resolver: V = 0,70; cartela vermelha = 9 × 0,70 = R$6,30.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever as equações.

• $18A + 9V = 32{,}40$
• $A - V = V + 0{,}05 \;\Rightarrow\; A = 2V + 0{,}05$

Subpasso 4.2 — Substituir.

$$18(2V + 0{,}05) + 9V = 32{,}40$$

$$36V + 0{,}90 + 9V = 32{,}40$$

$$45V = 31{,}50$$

$$V = 0{,}70\;\text{R}\$$$

Subpasso 4.3 — Calcular o preço da cartela vermelha.

$$\text{Cartela vermelha} = 9V = 9 \times 0{,}70 = 6{,}30\;\text{R}\$$$

Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.

R$6,30 → alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4,68. ❌ Incorreta. Valor que não corresponde ao cálculo direto.

B) 6,30. ✅ Correta. 9 × R$0,70 = R$6,30.

C) 9,30. ❌ Incorreta. Valor muito alto para uma cartela vermelha.

D) 10,50. ❌ Incorreta. Ainda mais alto — incoerente.

E) 10,65. ❌ Incorreta. Também inconsistente com os cálculos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa B — uma cartela de tíquetes vermelhos custa R$6,30, obtida resolvendo o sistema linear e multiplicando o preço unitário (R$0,70) por 9 tíquetes.
• Padrão de cobrança ENEM: sistema linear 2×2 com tradução de texto para equações é habilidade central. Sempre definir variáveis claras e montar equações com atenção.
• Generalização: regra — modelar em variáveis, isolar uma, substituir, resolver. Sempre verificar com a equação original.
• Dica de eliminação: preços razoáveis para cartelas de 9 tíquetes (tíquete unitário ≈ R$0,70-1,50) ficam em torno de R$6-15. Valores absurdamente baixos (A) ou muito altos (D, E) são suspeitos.
• Conexões: sistemas lineares em contabilidade (preços e descontos), logística (mistura de produtos), economia (preço ponderado), e física (equilíbrio de forças).