Questão 146 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Combinatória (organização em triângulo mágico), sequências (PA), aritmética com somas de conjuntos.
• Nível: Difícil — exige identificar as duas progressões aritméticas de razão 2 possíveis com números de 1 a 6, verificar ambas as configurações e calcular a soma por lado em cada.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT507 — identificar padrões e relações em sequências numéricas, aplicando-as a problemas combinatórios.
• Gabarito oficial: E

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual(is) a(s) soma(s) possível(is) dos lados do triângulo mágico usando 1-6 (sem repetição) com os vértices em PA de razão 2?"
• Palavras-chave ancorais: "números 1 a 6, sem repetição", "somas dos lados iguais", "vértices em PA de razão 2".
• Armadilha antecipada: (i) esquecer que os vértices são contados em dois lados cada; (ii) considerar apenas uma PA (perder a outra); (iii) errar o cálculo da soma dos 6 números (1+2+...+6 = 21).
• Critério de acerto: identificar as PAs de razão 2: (1,3,5) e (2,4,6). Para cada uma, calcular a soma por lado usando $3S = 2 \cdot \text{soma dos vértices} + \text{soma dos meios}$. Duas soluções: S = 10 e S = 11.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Estrutura do triângulo mágico com 6 círculos:

• 3 vértices (cada vértice pertence a 2 lados).
• 3 meios de lados (cada meio pertence a 1 lado).
• Números 1-6 distribuídos um em cada círculo, sem repetição.

b) Soma dos números 1 a 6:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$

c) Relação da soma dos lados:

Seja $S$ a soma em cada lado (igual para os três lados). Cada vértice é contado 2 vezes (pertence a 2 lados); cada meio, 1 vez:

$$3S = 2 \cdot (\text{soma dos vértices}) + (\text{soma dos meios})$$

$$3S = 2V + M$$

$$3S = 2V + (21 - V) = V + 21$$

$$S = \frac{V + 21}{3}$$

d) PAs de razão 2 usando {1,2,3,4,5,6}:

• PA (1, 3, 5): três termos consecutivos com diferença 2.
• PA (2, 4, 6): três termos consecutivos com diferença 2.

Outras sequências com diferença 2 cairiam fora de {1,...,6} ou não seriam PA completa (ex.: 1,3,7 — 7 fora do intervalo).

e) Cálculo para cada PA nos vértices:

Caso A — vértices (1, 3, 5):

$V = 1 + 3 + 5 = 9$.

$M = 21 - 9 = 12$ (meios são 2, 4, 6 em alguma ordem).

$3S = 2 \cdot 9 + 12 = 30 \Rightarrow S = 10$.

Precisamos verificar se existe uma atribuição válida de 2, 4, 6 aos meios que faça os três lados somarem 10. Lados (vértice-meio-vértice):

• Lado 1 (entre vértices 1 e 3): $1 + m_1 + 3 = 10 \Rightarrow m_1 = 6$.
• Lado 2 (entre vértices 3 e 5): $3 + m_2 + 5 = 10 \Rightarrow m_2 = 2$.
• Lado 3 (entre vértices 1 e 5): $1 + m_3 + 5 = 10 \Rightarrow m_3 = 4$.

Atribuição $(m_1, m_2, m_3) = (6, 2, 4)$ — usa {2, 4, 6} sem repetição. ✓ Solução válida.

Caso B — vértices (2, 4, 6):

$V = 2 + 4 + 6 = 12$.

$M = 21 - 12 = 9$ (meios são 1, 3, 5).

$3S = 2 \cdot 12 + 9 = 33 \Rightarrow S = 11$.

Verificação:

• Lado 1 (entre 2 e 4): $2 + m_1 + 4 = 11 \Rightarrow m_1 = 5$.
• Lado 2 (entre 4 e 6): $4 + m_2 + 6 = 11 \Rightarrow m_2 = 1$.
• Lado 3 (entre 2 e 6): $2 + m_3 + 6 = 11 \Rightarrow m_3 = 3$.

Atribuição $(m_1, m_2, m_3) = (5, 1, 3)$ — usa {1, 3, 5} sem repetição. ✓ Solução válida.

f) Conclusão: existem duas soluções, uma com soma 10 e outra com soma 11.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• 6 círculos no triângulo: 3 vértices + 3 meios.
• Números 1 a 6, sem repetição.
• Somas dos três lados iguais.
• Vértices em PA de razão 2: (1,3,5) ou (2,4,6) — únicas possíveis dentro de {1,...,6}.

Cada caso dá uma soma diferente (10 e 11), ambas válidas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as PAs de razão 2 possíveis.

(1, 3, 5) e (2, 4, 6).

Subpasso 4.2 — Calcular a soma por lado em cada caso.

Usando $3S = 2V + M = V + 21$:

• Caso (1,3,5): $S = (9 + 21)/3 = 10$.
• Caso (2,4,6): $S = (12 + 21)/3 = 11$.

Subpasso 4.3 — Verificar viabilidade.

Ambos casos são realizáveis com atribuições únicas dos meios (5,1,3 para um, 6,2,4 para o outro).

Subpasso 4.4 — Conclusão.

Duas soluções: S = 10 e S = 11. Alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Somente uma solução, soma = 7. ❌ Incorreta. Soma 7 exigiria $V = 3 \cdot 7 - 21 = 0$ — impossível.

B) Somente uma solução, soma = 9. ❌ Incorreta. Soma 9 exigiria $V = 6$, o que não corresponde a PA de razão 2 dentro de {1,...,6}.

C) Duas soluções, somas = 7 e 9. ❌ Incorreta. Nenhuma dessas somas é compatível com PA de razão 2.

D) Duas soluções, somas = 9 e 12. ❌ Incorreta. 9 e 12 são as somas dos vértices (V), não das somas dos lados.

E) Duas soluções, somas = 10 e 11. ✅ Correta. Caso (1,3,5): S=10; caso (2,4,6): S=11. Ambos viáveis com atribuições consistentes.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa E — há duas soluções para o triângulo mágico com vértices em PA de razão 2: uma com soma 10 em cada lado (vértices 1,3,5), outra com soma 11 (vértices 2,4,6).
• Padrão de cobrança ENEM: "quadrados/triângulos mágicos" exigem manipulação simultânea de combinações e aritmética. A chave é a fórmula $3S = 2V + M$ para triângulos com 6 posições.
• Generalização: em qualquer triângulo mágico com n+3 números (3 vértices + 3 meios), se você conhece a soma dos vértices $V$ e a soma total $T$, então a soma por lado é $S = (V + T)/3$.
• Dica de eliminação: elimine alternativas com soma < 6 (mínimo possível com 1, 2, 3) ou > 15 (máximo com 4, 5, 6). Entre as restantes, só as PAs válidas (1,3,5) e (2,4,6) dão 10 e 11 respectivamente.
• Conexões: relaciona-se a quadrados mágicos (Dürer, Sudoku, Ramanujan), a PA e PG em sequências numéricas, a combinatória enumerativa e a teoria dos números em geral.