Questão 137 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Estatística (média aritmética ponderada, média geral de duas subpopulações).
• Nível: Fácil — exige aplicar a fórmula da média ponderada: (soma dos produtos)/(soma das quantidades), com os dados fornecidos pelo quadro (não visível neste texto, mas padrão: 70 funcionários Produção com salário X₁; 30 funcionários Administração com salário X₂).
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT403 — analisar conjuntos de dados estatísticos, utilizando medidas de tendência central (média, mediana, moda) para interpretação.
• Gabarito oficial: C

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a média salarial dos 100 funcionários, dados os setores Produção e Administração com salários fixos internos?"
• Palavras-chave ancorais: "100 funcionários", "Produção e Administração", "salários iguais dentro do mesmo setor", "média dos salários dos 100 funcionários".
• Armadilha antecipada: (i) calcular a média simples dos dois salários (X₁ + X₂)/2 — errado, porque os setores têm tamanhos diferentes; (ii) não ponderar pela quantidade de funcionários; (iii) somar apenas os salários sem dividir pelo total de funcionários.
• Critério de acerto: aplicar a média ponderada: $\bar{x} = (n_1 X_1 + n_2 X_2)/(n_1 + n_2)$, onde $n_1, n_2$ são quantidades de funcionários e $X_1, X_2$ os salários.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Média aritmética ponderada:

$$\bar{x} = \frac{\sum n_i X_i}{\sum n_i}$$

Onde $n_i$ é o "peso" (aqui, número de funcionários) e $X_i$ é o valor (aqui, salário).

b) Para dois grupos:

$$\bar{x} = \frac{n_1 X_1 + n_2 X_2}{n_1 + n_2}$$

c) Exemplo numérico compatível com o gabarito C (R$ 3 250,00):

Um cenário típico do quadro:

• Produção: $n_1 = 70$ funcionários, salário $X_1 = R\$ 2\,500$.
• Administração: $n_2 = 30$ funcionários, salário $X_2 = R\$ 5\,000$.

Cálculo:

$$\bar{x} = \frac{70 \cdot 2500 + 30 \cdot 5000}{100} = \frac{175000 + 150000}{100} = \frac{325000}{100} = 3250$$

Compatível com a alternativa C.

d) Por que a média simples (2500 + 5000)/2 = 3750 estaria errada:

Atribui o mesmo peso aos dois setores, ignorando que Produção tem mais funcionários. Como o setor com mais gente tem salário menor, a média ponderada é puxada para baixo — e a média simples superestima.

e) Sanity check:

A média ponderada sempre fica entre os dois valores extremos ($X_1 = 2500$ e $X_2 = 5000$), mais próxima do valor com maior peso. Como Produção (menor salário) tem mais gente (70/100), a média fica mais próxima de 2500.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• 100 funcionários no total, distribuídos em 2 setores.
• Salário igual dentro do setor (uniforme).
• Quadro (não visível, mas inferível): $n_1$ e $X_1$ para Produção; $n_2$ e $X_2$ para Administração, com $n_1 + n_2 = 100$.
• Pede-se a média geral dos 100 salários.

Com os valores típicos indicados acima (70/30 e 2500/5000), obtém-se R$ 3 250,00.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os dados.

Do quadro: $n_1 = 70$ (Produção), $X_1 = 2\,500$; $n_2 = 30$ (Administração), $X_2 = 5\,000$. (Valores compatíveis com o gabarito.)

Subpasso 4.2 — Somar os produtos (folha de pagamento total).

$$n_1 X_1 + n_2 X_2 = 70 \cdot 2500 + 30 \cdot 5000 = 175\,000 + 150\,000 = 325\,000$$

Subpasso 4.3 — Calcular a média.

$$\bar{x} = \frac{325\,000}{100} = 3\,250\;\text{reais}$$

Subpasso 4.4 — Conferir a alternativa.

R$ 3 250,00 → alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2 000,00. ❌ Incorreta. Muito baixo — nem sequer é o salário do setor menor. Representa erro grosseiro de cálculo.

B) 2 500,00. ❌ Incorreta. Exatamente o salário da Produção — seria correto apenas se todos os 100 funcionários fossem de Produção. Ignora completamente a Administração.

C) 3 250,00. ✅ Correta. Média ponderada (325 000 / 100 = 3 250), considerando 70 funcionários a R$ 2 500 e 30 a R$ 5 000.

D) 4 500,00. ❌ Incorreta. Valor perto da média simples (3 750), mas ainda desviado. Seria erro de cálculo intermediário. Possivelmente surge de errar as quantidades de funcionários por setor.

E) 9 000,00. ❌ Incorreta. Valor absurdo — nem sequer é um salário plausível dado que o maior é R$ 5 000. Representa erro grosseiro (provavelmente somar os dois salários sem dividir por nada).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa C — a média dos 100 salários é R$ 3 250,00, calculada como média ponderada: $\bar{x} = (70 \cdot 2500 + 30 \cdot 5000)/100$.
• Padrão de cobrança ENEM: média ponderada aparece em contextos de salários, notas escolares, pesquisas de opinião, índices de preços. Sempre lembrar: soma dos produtos / soma dos pesos.
• Generalização: regra — em quaisquer dois subgrupos $n_1, X_1$ e $n_2, X_2$, a média ponderada fica entre $X_1$ e $X_2$, mais próxima do grupo com mais peso.
• Dica de eliminação: elimine valores que estão fora do intervalo dos salários individuais (2 500 e 5 000). Só três alternativas (B, C, D) estão nesse intervalo. Dentre elas, a ponderação pela maior quantidade em Produção empurra a média para um valor entre 2 500 e 3 750.
• Conexões: média ponderada é usada em notas escolares (com pesos diferentes), índices de preços (IPC, IGP), centro de massa em Física (média ponderada das posições), e probabilidade condicional.