Questão 153 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Multiplicação, comparação de produtos (tempo × pessoas), otimização.
• Nível: Fácil — exige multiplicar número de pessoas na fila pelo tempo de atendimento em cada caixa e escolher o menor produto.
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT102 — analisar e resolver problemas de otimização envolvendo cálculo direto de tempos de espera.
• Gabarito oficial: E

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual caixa proporciona menor tempo total de espera, dadas pessoas na fila e tempo médio por atendimento?"
• Palavras-chave ancorais: "menor tempo possível de espera", "cada caixa iniciará um novo atendimento naquele momento".
• Armadilha antecipada: (i) escolher o caixa com menos pessoas (IV, com 2) sem considerar o tempo; (ii) escolher o caixa com menor tempo por pessoa (III, com 5 min) sem considerar a fila; (iii) ignorar o fato de que o cliente entra no final da fila e espera todas as pessoas à sua frente.
• Critério de acerto: tempo total = (nº pessoas na fila) × (tempo por atendimento); escolher o caixa com menor produto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Fórmula do tempo de espera:

$$T_{\text{espera}} = N_{\text{fila}} \times t_{\text{atendimento}}$$

O cliente espera todas as $N$ pessoas à frente serem atendidas (cada uma levando $t$ minutos) antes dele próprio. Como "cada caixa inicia um novo atendimento agora", o tempo de fila é exato.

b) Cálculo para cada caixa:

| Caixa | Atendimento (min) | Pessoas na fila | Tempo espera (min) |

|---|---|---|---|

| I | 12 | 5 | 60 |

| II | 6 | 9 | 54 |

| III | 5 | 6 | 30 |

| IV | 15 | 2 | 30 |

| V | 9 | 3 | 27 |

c) Menor tempo de espera:

Caixa V com 27 minutos. Caixas III e IV empatam em 30 min, mas V é menor.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• 5 caixas com tempos e filas diferentes.
• Critério: menor tempo total de espera para o cliente.
• Tempo = (pessoas) × (tempo/pessoa).
• Resposta: caixa com menor produto → V (27 min).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o tempo total em cada caixa.

• I: 5 × 12 = 60 min.
• II: 9 × 6 = 54 min.
• III: 6 × 5 = 30 min.
• IV: 2 × 15 = 30 min.
• V: 3 × 9 = 27 min.

Subpasso 4.2 — Comparar e escolher o menor.

Menor: caixa V (27 min).

Subpasso 4.3 — Selecionar a alternativa.

Caixa V → alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I. ❌ Incorreta. 60 minutos — o pior tempo.

B) II. ❌ Incorreta. 54 minutos — também alto, apesar do atendimento rápido, por causa da fila grande.

C) III. ❌ Incorreta. 30 minutos — bom, mas não o menor.

D) IV. ❌ Incorreta. 30 minutos — empate com III, mas não o menor.

E) V. ✅ Correta. 27 minutos — o menor tempo total. Combinação equilibrada de fila e tempo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa E — o caixa V oferece o menor tempo total de espera (27 min), com combinação equilibrada de fila (3 pessoas) e tempo de atendimento (9 min).
• Padrão de cobrança ENEM: otimização por multiplicação simples é padrão. A chave é calcular o produto para cada opção e escolher o menor (ou maior, conforme o contexto).
• Generalização: em qualquer problema de "espera em fila com atendimento sequencial", o tempo é $N \cdot t$. A melhor fila não é necessariamente a menor nem a mais rápida por cliente, mas a que minimiza o produto.
• Dica de eliminação: não se deixe guiar só pelo "menor número de pessoas na fila" (IV) ou "menor tempo de atendimento" (III). O produto pode ser menor em uma terceira opção.
• Conexões: aplicação em teoria das filas (fila M/M/1 em Pesquisa Operacional), logística (roteirização de veículos), atendimento bancário, fila de espera em hospitais (triagem), e processos de manufatura (linhas de produção).