Mapa de questões · 2º dia
Questão 167 — ENEM 2023
A cada bimestre, a diretora de uma escola compra uma quantidade de folhas de papel ofício proporcional ao número de alunos matriculados. No bimestre passado, ela comprou 6 000 folhas para serem utilizadas pelos 1 200 alunos matriculados. Neste bimestre, alguns alunos cancelaram suas matrículas e a escola tem, agora, 1 150 alunos. A diretora só pode gastar R$ 220,00 nessa compra, e sabe que o fornecedor da escola vende as folhas de papel ofício em embalagens de 100 unidades a R$ 4,00 a embalagem. Assim, será preciso convencer o fornecedor a dar um desconto à escola, de modo que seja possível comprar a quantidade total de papel ofício necessária para o bimestre.
O desconto necessário no preço final da compra, em porcentagem, pertence ao intervalo
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Proporcionalidade (folhas por aluno), aritmética (custo total), porcentagem (desconto necessário).
- Nível: Médio — exige calcular (i) folhas por aluno (6000/1200 = 5); (ii) nova demanda (1150 × 5 = 5750 folhas); (iii) embalagens (5750/100 = 57,5 → arredondar para cima, 58); (iv) preço sem desconto (58 × R$4 = R$232); (v) desconto = (232 − 220)/232 ≈ 5,17% → intervalo (5,0; 5,5).
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT207 — calcular porcentagens em situações práticas (descontos, orçamentos, ajustes financeiros).
- Gabarito oficial: A.
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual porcentagem de desconto a escola precisa conseguir para comprar as folhas dentro dos R$220 de orçamento?"
- Palavras-chave ancorais: "6000 folhas para 1200 alunos" (proporção), "1150 alunos agora", "R$220 orçamento", "embalagens de 100 folhas a R$4", "desconto no preço final".
- Armadilha antecipada: (i) esquecer de recalcular a proporção folhas/aluno; (ii) não arredondar embalagens para cima (seria 57,5 mas precisa 58); (iii) errar a base do desconto (percentual sobre o preço sem desconto).
- Critério de acerto: preço sem desconto = 58 × 4 = 232; desconto = (232 − 220)/232 ≈ 5,17% → (5,0; 5,5).
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Proporção folhas por aluno:
$$\frac{6000}{1200} = 5\;\text{folhas/aluno}$$
b) Nova demanda (1150 alunos):
$$1150 \times 5 = 5750\;\text{folhas}$$
c) Embalagens necessárias (100 folhas por embalagem):
$$\frac{5750}{100} = 57{,}5 \;\Rightarrow\; 58\;\text{embalagens (arredondar para cima)}$$
d) Preço sem desconto:
$$58 \times 4 = 232\;\text{R}\$$$
e) Desconto necessário:
Diferença entre preço e orçamento: $232 - 220 = 12$ R$.
Percentual: $12/232 \approx 0{,}0517 = 5{,}17\%$.
f) Intervalo:
5,17% está em (5,0; 5,5) → alternativa A.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- 6000 folhas / 1200 alunos = 5 folhas/aluno.
- 1150 alunos × 5 = 5750 folhas necessárias.
- 5750/100 = 57,5 → 58 embalagens.
- 58 × R$4 = R$232 (sem desconto).
- Orçamento: R$220.
- Desconto: (232 − 220)/232 = 12/232 ≈ 5,17%.
- Intervalo: (5,0; 5,5) → A.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Calcular folhas por aluno.
$$\text{Folhas/aluno} = 6000/1200 = 5$$
Subpasso 4.2 — Nova demanda total.
$$N = 1150 \times 5 = 5750\;\text{folhas}$$
Subpasso 4.3 — Embalagens (arredondando para cima).
$$\frac{5750}{100} = 57{,}5 \Rightarrow 58\;\text{embalagens}$$
Subpasso 4.4 — Preço total sem desconto.
$$P = 58 \times 4 = 232\;\text{R}\$$$
Subpasso 4.5 — Calcular desconto.
$$d = \frac{P - \text{Orçamento}}{P} = \frac{232 - 220}{232} = \frac{12}{232} \approx 0{,}0517 = 5{,}17\%$$
Subpasso 4.6 — Selecionar a alternativa.
5,17% pertence a (5,0; 5,5) → alternativa A.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) (5,0 ; 5,5). ✅ Correta. 5,17% está nesse intervalo.
B) (8,0 ; 8,5). ❌ Intervalo alto — não corresponde ao desconto calculado.
C) (11,5 ; 12,5). ❌ Muito alto.
D) (19,5 ; 20,5). ❌ Absurdamente alto.
E) (3,5 ; 4,0). ❌ Abaixo — possivelmente calculado sobre base errada.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa A — o desconto necessário é ~5,17%, dentro do intervalo (5,0; 5,5).
- Padrão de cobrança ENEM: problemas de orçamento com proporcionalidade e descontos são frequentes. A chave é sempre calcular o valor "cheio" e o "alvo" para obter o desconto.
- Generalização: desconto % = (preço − orçamento)/preço × 100%. Base é sempre o preço original, não o orçamento.
- Dica de eliminação: verifique se o desconto é pequeno (< 10%) ou grande (> 20%) avaliando a diferença absoluta. 12 sobre 232 indica desconto pequeno.
- Conexões: aplicação em negociação comercial, compras públicas (licitações), descontos progressivos em varejo, e análise financeira em geral.