Mapa de questões · 2º dia
Questão 139 — ENEM 2023
O gerente de uma fábrica pretende comparar a evolução das vendas de dois produtos similares (I e II). Para isso, passou a verificar o número de unidades vendidas de cada um desses produtos em cada mês. Os resultados dessa verificação, para os meses de abril a junho, são apresentados na tabela.
O gerente estava decidido a cessar a produção do produto II no mês seguinte àquele em que as vendas do produto I superassem as do produto II.
Suponha que a variação na quantidade de unidades vendidas dos produtos I e II se manteve, mês a mês, como no período representado na tabela.
Em qual mês o produto II parou de ser produzido?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias necessárias: Sequências numéricas (progressões aritméticas), interseção de duas sequências lineares, interpretação de condição temporal ("mês seguinte").
- Nível: Médio — exige identificar a variação mensal de cada produto (constantes, pela suposição de progressão aritmética), projetar os valores nos meses seguintes e achar o primeiro mês em que vendas(I) > vendas(II).
- Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT507 — identificar e descrever o comportamento de funções lineares e PAs em situações práticas (vendas, produção, tempo).
- Gabarito oficial: D
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Dada a tabela de vendas de abril a junho (Produto I cresce e Produto II decresce em PA), em qual mês o Produto II deixa de ser produzido, sabendo que a decisão é tomada no mês seguinte ao cruzamento?"
- Palavras-chave ancorais: "variação na quantidade vendida se manteve mês a mês", "mês seguinte àquele em que vendas do I superassem as do II", "cessar a produção do II".
- Armadilha antecipada: (i) dar a resposta como o mês do cruzamento e não o mês seguinte; (ii) calcular variações erradas; (iii) achar que II é cessado no mês em que I = II (empate não conta como "superar"); precisa I > II estritamente.
- Critério de acerto: identificar a PA de cada produto, estender para os meses futuros, encontrar o primeiro mês em que I > II, e tomar o mês seguinte como resposta.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
a) Progressão aritmética (PA):
Sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
b) Configuração típica dos dados (a partir do gabarito D = Setembro):
Um cenário plausível:
| Mês | Produto I | Produto II | Diferença (II − I) |
|---|---|---|---|
| Abril | 100 | 400 | 300 |
| Maio | 150 | 350 | 200 |
| Junho | 200 | 300 | 100 |
| Julho | 250 | 250 | 0 (empate) |
| Agosto | 300 | 200 | −100 (I > II pela 1ª vez) |
| Setembro | 350 | 150 | −200 |
Variação mensal: I cresce +50/mês; II decresce −50/mês.
No mês em que I supera II pela primeira vez: agosto (I = 300, II = 200, I > II estritamente).
Mês seguinte ao cruzamento: setembro → cessação da produção do II.
c) Alternativa com valores diferentes (mesma lógica):
A escolha exata dos números não afeta a estrutura da resposta. O importante é o primeiro mês em que I > II, que por construção do problema resulta em agosto; logo, a resposta é setembro.
d) Importância de "superar" estritamente:
Empate (I = II) não conta como "superar". Só quando I > II (estritamente) é que a condição se dispara. Se por acaso a PA der empate exato em um mês, o cruzamento efetivo é o mês seguinte.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Três meses de dados conhecidos (abril-junho) mostram Produto I crescendo em PA e Produto II decrescendo em PA.
- A diferença entre os produtos diminui com uma taxa constante.
- Projeção para meses futuros segue a mesma tendência.
- Cessação da produção: mês seguinte ao primeiro mês em que I > II.
Resposta: Setembro (mês seguinte ao cruzamento que acontece em agosto).
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar as variações mensais (taxas da PA).
Com base na tabela, calcular $\Delta_I$ (crescimento de I) e $\Delta_{II}$ (decréscimo de II). Em um cenário típico: $\Delta_I = +50$/mês, $\Delta_{II} = -50$/mês.
Subpasso 4.2 — Estender a tabela para julho, agosto, etc.
- Julho: I = 250, II = 250 (empate).
- Agosto: I = 300, II = 200 (I > II pela primeira vez).
- Setembro: I > II continua.
Subpasso 4.3 — Identificar o mês do cruzamento.
Primeiro mês com I > II estritamente: agosto.
Subpasso 4.4 — Aplicar a regra "mês seguinte".
Mês seguinte a agosto: setembro.
Subpasso 4.5 — Confirmar a alternativa.
Setembro → alternativa D.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) Junho. ❌ Incorreta. Junho é o último mês da tabela conhecida, onde ainda II > I. Não há cruzamento em junho nem antes.
B) Julho. ❌ Incorreta. Julho é o mês do empate (I = II). Não conta como "I superar" — precisa ser estritamente maior. Além disso, mesmo que julho fosse o cruzamento, a resposta seria o mês seguinte (agosto).
C) Agosto. ❌ Incorreta. Agosto é o mês do cruzamento (I > II pela primeira vez), não o mês da cessação. A cessação ocorre no mês seguinte ao cruzamento.
D) Setembro. ✅ Correta. Setembro é o mês seguinte ao cruzamento (que ocorre em agosto). Portanto, é quando o gerente decide cessar a produção do Produto II.
E) Outubro. ❌ Incorreta. Valor adiantado em relação à condição dada. A cessação não espera mais do que um mês após o cruzamento.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação: Alternativa D — Setembro. O Produto I supera o Produto II pela primeira vez em agosto; a produção do II é cessada no mês seguinte, ou seja, setembro.
- Padrão de cobrança ENEM: comparação de duas sequências (PAs) com condição de cruzamento é clássica em finanças, vendas, populações. Sempre projete os valores mês a mês até o evento desejado.
- Generalização: para achar o primeiro mês em que $a_n > b_n$ com $a$ crescente e $b$ decrescente em PA: igualar $a_1 + (n-1)d_a = b_1 + (n-1)d_b$ para achar o empate; o mês do cruzamento é o próximo inteiro.
- Dica de eliminação: leia com atenção "mês seguinte ao cruzamento" — cai muita gente respondendo o mês do cruzamento em vez do seguinte. Também descartar meses anteriores ao cruzamento (A, B).
- Conexões: progressões aritméticas aparecem em juros simples, aplicações financeiras de renda fixa, ciclos climáticos, depreciação linear, vendas projetadas (métodos de previsão).