Questão 176 — ENEM 2023

Ficha da Questão

• Matérias necessárias: Sequências numéricas (números figurados), padrões de crescimento em PA de segunda ordem, fórmula geral dos números pentagonais.
• Nível: Médio — exige reconhecer o padrão da sequência pentagonal (1, 5, 12, 22, 35, 51, ...) e aplicar a fórmula $P_n = n(3n−1)/2$ ou usar as diferenças sucessivas (+4, +7, +10, +13, ...).
• Tema/Habilidade BNCC: EM13MAT507 — identificar padrões e regularidades em sequências numéricas, generalizando para o n-ésimo termo.
• Gabarito oficial: E (92).

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual o 8º termo da sequência de números pentagonais?"
• Palavras-chave ancorais: "números figurados pentagonais", "seis primeiros na figura", "mesmo padrão geométrico", "oitavo número".
• Armadilha antecipada: (i) errar ao continuar a sequência (diferenças crescem em PA de razão 3); (ii) usar fórmula de triangulares ou quadrados; (iii) calcular só até o 6º e não continuar.
• Critério de acerto: aplicar $P_n = n(3n−1)/2$ com n = 8: $P_8 = 8 \cdot 23 / 2 = 92$. Ou continuar a sequência (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92) somando diferenças +4, +7, +10, +13, +16, +19, +22.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

a) Números pentagonais (definição):

Sequência construída geometricamente, adicionando pentágonos concêntricos.

$$P_1 = 1, P_2 = 5, P_3 = 12, P_4 = 22, P_5 = 35, P_6 = 51$$

b) Fórmula geral:

$$P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}$$

c) Padrão de diferenças (PA de 2ª ordem):

• $P_2 - P_1 = 4$
• $P_3 - P_2 = 7$
• $P_4 - P_3 = 10$
• $P_5 - P_4 = 13$
• $P_6 - P_5 = 16$
• $P_7 - P_6 = 19$
• $P_8 - P_7 = 22$

As diferenças formam PA de razão 3.

d) Cálculo para n = 8:

Método 1 — Fórmula direta:

$$P_8 = \frac{8 \times (3 \cdot 8 - 1)}{2} = \frac{8 \times 23}{2} = \frac{184}{2} = 92$$

Método 2 — Soma das diferenças:

$$P_7 = P_6 + 19 = 51 + 19 = 70$$

$$P_8 = P_7 + 22 = 70 + 22 = 92$$

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Sequência pentagonal: 1, 5, 12, 22, 35, 51, ...
• Padrão: cada termo adiciona 3 a mais que o anterior.
• 8º termo: aplicando fórmula $P_8 = 8 \times 23 / 2 = 92$.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar a fórmula ou estender a sequência.

$$P_n = n(3n-1)/2$$

Subpasso 4.2 — Aplicar para n = 8.

$$P_8 = \frac{8 \times 23}{2} = 92$$

Subpasso 4.3 — Conferir pela soma de diferenças.

$P_7 = 51 + 19 = 70$; $P_8 = 70 + 22 = 92$ ✓.

Subpasso 4.4 — Selecionar a alternativa.

92 → alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 59. ❌ Incorreta. Valor inconsistente com a sequência.

B) 83. ❌ Incorreta. Não corresponde a nenhum $P_n$.

C) 86. ❌ Incorreta. Próximo mas não é o valor correto.

D) 89. ❌ Incorreta. Também próximo mas não é.

E) 92. ✅ Correta. $P_8 = 92$ pela fórmula ou soma das diferenças.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação: Alternativa E — o 8º número pentagonal é 92, obtido pela fórmula $P_n = n(3n-1)/2$ ou continuando a sequência 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92.
• Padrão de cobrança ENEM: números figurados (triangulares $T_n = n(n+1)/2$, quadrados $Q_n = n²$, pentagonais $P_n = n(3n-1)/2$) são temas recorrentes em sequências.
• Generalização: números figurados são PA de 2ª ordem. Se as diferenças formam PA de razão $r$, o termo geral é polinômio quadrático em $n$.
• Dica de eliminação: valores próximos de 92 (86, 89) são iscas; só o valor exato da fórmula encaixa.
• Conexões: relaciona-se à sequência de Fibonacci, a números triangulares/quadrados/hexagonais, a fórmulas combinatórias, e a história da matemática grega (Pitágoras, pitagóricos).