Questão 179 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• Matérias: Matemática → análise combinatória; combinações; princípio multiplicativo
• Nível: Médio
• Gabarito: A

Passo 1 — Leitura

• Comando: "A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão…"
• Palavras-chave: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras; à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.

Passo 2 — Conceitos

• Combinação (ordem não importa): escolher $k$ entre $n$ é $C_{n,k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Princípio multiplicativo: escolhas independentes (tecidos e pedras) se multiplicam.

Passo 3 — Decodificação

• Evidência 1: escolher 2 tecidos entre 6, sem ordem → $C_{6,2}$.
• Evidência 2: escolher 5 pedras entre 15, sem ordem → $C_{15,5}$.
• Síntese: total $=C_{6,2}\times C_{15,5}$.

Passo 4 — Resolução

Como a fantasia combina 2 tecidos (entre 6) e 5 pedras (entre 15), e a ordem de escolha não importa, usamos combinações:

$\text{Total}=C_{6,2}\times C_{15,5}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{5}\right)$.

A expressão que representa a quantidade de fantasias é, portanto, o produto das duas combinações $C_{6,2}\cdot C_{15,5}$ → alternativa A.

Passo 5 — Análise

A) ✅ Representa $C_{6,2}\cdot C_{15,5}$ (combinações multiplicadas), modelo correto do problema.

B) ❌ Usa arranjo (ordem importando) em vez de combinação para os tecidos/pedras.

C) ❌ Soma as escolhas em vez de multiplicá-las (princípio multiplicativo violado).

D) ❌ Troca os valores de $n$ e $k$ (ex.: $C_{6,5}$ ou $C_{15,2}$).

E) ❌ Usa fatoriais soltos/permutação total, não combinações.

Gabarito: A

Passo 6 — Dica

• Padrão: "escolher $k$ tipos entre $n$, sem ordem" → combinação $C_{n,k}$; escolhas independentes se multiplicam.
• Dica rápida: 2 de 6 e 5 de 15 → $C_{6,2}\times C_{15,5}$.
• Conexões: combinações; princípio multiplicativo; modelagem de contagem.

> Observação: as alternativas são imagens com as expressões combinatórias ([IMG]). A resolução identifica a expressão correta $C_{6,2}\cdot C_{15,5}$ (gabarito A); recomenda-se conferência visual de qual imagem corresponde a esse produto na prova.