Questão 136 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• Matérias: Matemática → recorrência/sequências; razão áurea (número de ouro)
• Nível: Médio
• Gabarito: E

Passo 1 — Leitura

• Comando: "A potência φ⁷, escrita na forma aφ + b (a e b inteiros positivos), é".
• Dados literais: φ² = φ + 1; as potências superiores de φ podem ser escritas como aφ + b, com a e b inteiros positivos.

Passo 2 — Conceitos

• Relação fundamental: φ² = φ + 1. Essa é a regra de redução: sempre que aparecer φ², troque por φ + 1.
• Estratégia: multiplicar a expressão anterior por φ e reaplicar φ² = φ + 1 reduz o grau a cada passo, mantendo a forma aφ + b.

Passo 3 — Decodificação

• A cada potência, multiplico por φ: φⁿ⁺¹ = φ·(aφ + b) = aφ² + bφ = a(φ+1) + bφ = (a+b)φ + a.
• Padrão (Fibonacci): se φⁿ = aφ + b, então φⁿ⁺¹ = (a+b)φ + a. Os coeficientes seguem Fibonacci.

Passo 4 — Resolução

Aplico a recorrência passo a passo, conferindo cada operação:

1. φ² = φ + 1 → a=1, b=1.
2. φ³ = φ·φ² = φ(φ+1) = φ² + φ = (φ+1) + φ = 2φ + 1 → a=2, b=1.
3. φ⁴ = φ·φ³ = φ(2φ+1) = 2φ² + φ = 2(φ+1) + φ = 3φ + 2 → a=3, b=2.
4. φ⁵ = φ·φ⁴ = φ(3φ+2) = 3φ² + 2φ = 3(φ+1) + 2φ = 5φ + 3 → a=5, b=3.
5. φ⁶ = φ·φ⁵ = φ(5φ+3) = 5φ² + 3φ = 5(φ+1) + 3φ = 8φ + 5 → a=8, b=5.
6. φ⁷ = φ·φ⁶ = φ(8φ+5) = 8φ² + 5φ = 8(φ+1) + 5φ = 13φ + 8 → a=13, b=8.

Logo, φ⁷ = 13φ + 8 → E.

Passo 5 — Análise

A) 5φ + 3 ❌ É o valor de φ⁵, não de φ⁷.

B) 7φ + 2 ❌ Não corresponde a nenhuma potência; coeficientes não seguem Fibonacci.

C) 9φ + 6 ❌ Coeficientes inválidos (não são termos consecutivos de Fibonacci).

D) 11φ + 7 ❌ Resultado intermediário incorreto; não bate com a recorrência.

E) 13φ + 8 ✅ Resultado exato após reduzir φ⁷ com φ² = φ + 1.

Gabarito: E

Passo 6 — Dica

• Padrão: sempre que tiver φ² = φ + 1, multiplique por φ e substitua para baixar o grau.
• Dica rápida: os coeficientes de φⁿ = aφ + b são números de Fibonacci consecutivos (1,1,2,3,5,8,13...).
• Conexões: razão áurea; sequência de Fibonacci; relações de recorrência.