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Questão 137 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia
O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos cilindricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central.
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias: Matemática → geometria espacial; projeção ortogonal; diagonal de cubo
- Nível: Difícil
- Gabarito: E
> Observação: as cinco alternativas são figuras (imagens). A resolução é feita pelo texto; a escolha final exige conferência visual do desenho que corresponda à projeção descrita.
Passo 1 — Leitura
- Comando: "A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por".
- Dados literais: cubo apoiado por um dos vértices; a diagonal do cubo é ortogonal ao plano da base; o visitante percorre, em linha reta e menor trajeto, todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
Passo 2 — Conceitos
- Projeção ortogonal: sombra da figura no plano do solo, "achatando" a altura.
- Cubo sobre um vértice: quando a diagonal principal fica vertical, a projeção do cubo no solo é um hexágono regular.
- Os 8 vértices se projetam assim: o vértice de apoio e o vértice mais alto caem no centro; os outros 6 vértices formam os vértices de um hexágono regular.
Passo 3 — Decodificação
- Arestas do cubo: projetadas, ligam os 6 vértices do hexágono ao centro e entre si, formando o contorno hexagonal com os "raios" centrais.
- Diagonais do cubo: as 4 diagonais internas se projetam como segmentos passando pelo centro; a diagonal vertical projeta-se em um ponto (o centro).
- Síntese: a projeção é um hexágono regular com todas as ligações ao centro, formando uma estrela/hexágono com diagonais internas.
Passo 4 — Resolução
- Com a diagonal principal vertical, a silhueta do cubo no solo é um hexágono regular.
- Os vértices superior e inferior coincidem na projeção (centro do hexágono).
- As 12 arestas projetam-se sobre os lados do hexágono e sobre os 6 segmentos que vão do centro aos vértices.
- As diagonais do cubo projetam-se em segmentos que cruzam o centro, completando o desenho de um hexágono com todas as suas diagonais/raios traçados.
- A alternativa que mostra exatamente esse hexágono regular com centro ligado a todos os vértices e diagonais internas é a do gabarito → E.
> Observação: confira na figura E o hexágono regular com os seis raios ao centro e as diagonais internas — esse é o padrão da projeção de um cubo apoiado num vértice.
Passo 5 — Análise
A) (figura) ❌ Não reproduz o hexágono regular com todas as ligações ao centro descrito.
B) (figura) ❌ Geometria incompatível com a projeção de um cubo sobre vértice.
C) (figura) ❌ Falta(m) ligações de arestas/diagonais exigidas pelo trajeto completo.
D) (figura) ❌ Padrão parcial; não cobre todas as arestas e diagonais projetadas.
E) (figura) ✅ Hexágono regular com os seis raios e diagonais internas — projeção correta do trajeto completo.
Gabarito: E
Passo 6 — Dica
- Padrão: cubo apoiado num vértice (diagonal vertical) → projeção no solo é hexágono regular.
- Dica rápida: vértice de apoio e topo caem no centro; os outros seis formam o hexágono.
- Conexões: projeção ortogonal; diagonal do cubo; simetria hexagonal.
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