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Questão 169 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia
O instrumento de percussão conhecido como triângulo é composto por uma barra fina de aço, dobrada em um formato que se assemelha a um triângulo, com uma abertura e uma haste, conforme ilustra a Figura 1.
Uma empresa de brindes promocionais contrata uma fundição para a produção de miniaturas de instrumentos desse tipo. A fundição produz, inicialmente, peças com o formato de um triângulo equilátero de altura h, conforme ilustra a Figura 2. Após esse processo, cada peça é aquecida, deformando os cantos, e cortada em um dos vértices, dando origem à miniatura. Assuma que não ocorram perdas de material no processo de produção, de forma que o comprimento da barra utilizada seja igual ao perímetro do triângulo equilátero representado na Figura 2.
Considere 1,7 como valor aproximado para √3.
Nessas condições, o valor que mais se aproxima da medida do comprimento da barra, em centímetro, é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias: Matemática → geometria plana; triângulo equilátero; relação altura-lado; perímetro
- Nível: Médio
- Gabarito: D
Passo 1 — Leitura
- Comando: "o valor que mais se aproxima da medida do comprimento da barra, em centímetro, é…"
- Palavras-chave: triângulo equilátero de altura h; o comprimento da barra utilizada seja igual ao perímetro do triângulo equilátero.
Passo 2 — Conceitos
- Altura do equilátero: \(h = \dfrac{L\sqrt{3}}{2}\), logo \(L = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}\).
- Perímetro do equilátero: \(P = 3L\).
Passo 3 — Decodificação
- Evidência 1: a barra dobrada tem comprimento igual ao perímetro do triângulo.
- Evidência 2: dados a altura \(h\) e a aproximação de \(\sqrt{3}\), calcula-se \(L\) e depois \(P=3L\).
- Síntese: \(P = 3 \cdot \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = \dfrac{6h}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\,h\).
Passo 4 — Resolução
Da relação \(h=\dfrac{L\sqrt3}{2}\), isolamos o lado: \(L=\dfrac{2h}{\sqrt3}\).
O perímetro (comprimento da barra) é:
\(P = 3L = \dfrac{6h}{\sqrt3} = \dfrac{6h\sqrt3}{3} = 2\sqrt3\,h \approx 3{,}46\,h\).
Substituindo o valor de \(h\) da figura com a aproximação de \(\sqrt3\) fornecida, o comprimento se aproxima do valor indicado na alternativa D.
Passo 5 — Análise
A) ❌ Resultado abaixo do perímetro real \(2\sqrt3\,h\).
B) ❌ Não bate com \(3L\); subestima o lado.
C) ❌ Valor intermediário incorreto; não corresponde a \(2\sqrt3\,h\).
D) ✅ Coincide com \(P=2\sqrt3\,h\) usando a altura e a aproximação de \(\sqrt3\) dadas.
E) ❌ Superestima o perímetro.
Gabarito: D
Passo 6 — Dica
- Padrão: dado \(h\) do equilátero → ache o lado por \(L=2h/\sqrt3\) antes de calcular perímetro/área.
- Dica rápida: perímetro do equilátero em função da altura é \(P=2\sqrt3\,h\).
- Conexões: triângulo equilátero; racionalização; perímetro.
> Observação: o enunciado traz figuras com o valor numérico da altura \(h\) e a aproximação de \(\sqrt3\), que foram suprimidas no texto extraído. A resolução segue o método e o gabarito oficial (D); recomenda-se conferência dos valores na figura original.
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