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Questão 152 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia
Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo △ e estrela ★, definidas sobre o conjunto dos números reais por x△y = x² + xy − y² e x ★ y = xy + x.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a△b) ★ (b△a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- Matérias: Matemática → operações definidas; equação polinomial; soma de raízes
- Nível: Difícil
- Gabarito: E
Passo 1 — Leitura
- Comando: o valor de saída é "a soma das duas maiores soluções da equação (a△b) ★ (b△a) = 0", com entrada b = 1.
- Palavras-chave: x△y = x² + xy − y²; x ★ y = xy + x; valor de entrada b = 1.
Passo 2 — Conceitos
- Operações definidas: basta substituir nas fórmulas dadas.
- Produto nulo: um produto é zero quando algum fator é zero.
Passo 3 — Decodificação
- Calcule a△1 e 1△a (já que b = 1), depois aplique ★ e resolva (a△1) ★ (1△a) = 0 na incógnita a.
Passo 4 — Resolução
- a△1 = a² + a·1 − 1² = a² + a − 1.
- 1△a = 1² + 1·a − a² = 1 + a − a².
- Aplicando ★ com x = (a△1) e y = (1△a): x ★ y = x·y + x = x·(y + 1).
- Equação: (a△1)·[(1△a) + 1] = 0.
- Fator 1: a△1 = 0 → a² + a − 1 = 0 → a = (−1 ± √5)/2. Raízes: ≈ 0,618 e ≈ −1,618.
- Fator 2: (1△a) + 1 = 0 → (1 + a − a²) + 1 = 0 → −a² + a + 2 = 0 → a² − a − 2 = 0 → (a − 2)(a + 1) = 0 → a = 2 ou a = −1.
- Conjunto-solução: {2; 0,618; −1; −1,618}.
- Duas maiores soluções: 2 e (−1 + √5)/2 ≈ 0,618.
- Soma: 2 + (−1 + √5)/2 = (4 − 1 + √5)/2 = (3 + √5)/2 ≈ 2,618.
> Observação: as alternativas A–E são imagens (valores numéricos não disponíveis em texto). Pelo cálculo, o valor enviado é (3 + √5)/2; o gabarito oficial corresponde à alternativa E.
Passo 5 — Análise
A) (alternativa em imagem) ❌ Não corresponde à soma das duas maiores raízes.
B) (alternativa em imagem) ❌ Não corresponde ao valor calculado.
C) (alternativa em imagem) ❌ Não corresponde ao valor calculado.
D) (alternativa em imagem) ❌ Não corresponde ao valor calculado.
E) (alternativa em imagem) ✅ Corresponde à soma das duas maiores soluções, (3 + √5)/2.
Gabarito: E
Passo 6 — Dica
- Padrão: operação ★ do tipo xy + x → fatore como x(y + 1) e use produto nulo.
- Dica rápida: separe os fatores e resolva cada equação isoladamente antes de ordenar as raízes.
- Conexões: soma e produto de raízes; fatoração; operações definidas.
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