Questão 142 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• Matérias: Matemática → probabilidade; evento complementar; eventos independentes
• Nível: Médio
• Gabarito: B

Passo 1 — Leitura

• Comando: "a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é".
• Dados literais: pontua quem acerta pelo menos um dardo; cada lançamento tem 1/2 de probabilidade de acertar; meta: probabilidade de pontuar igual ou superior a 9/10.

Passo 2 — Conceitos

• Evento complementar: P(pelo menos um acerto) = 1 − P(nenhum acerto).
• Independência: P(errar todos os n) = (1/2)ⁿ, pois cada lançamento erra com prob. 1/2.
• Meta: 1 − (1/2)ⁿ ≥ 9/10.

Passo 3 — Decodificação

• P(errar um) = 1 − 1/2 = 1/2.
• P(errar todos os n) = (1/2)ⁿ.
• Condição: 1 − (1/2)ⁿ ≥ 9/10 ⟺ (1/2)ⁿ ≤ 1/10.

Passo 4 — Resolução

1. Escrevo a condição: 1 − (1/2)ⁿ ≥ 9/10, ou seja, (1/2)ⁿ ≤ 1/10.
2. Testo n = 3: (1/2)³ = 1/8 = 0,125. Como 0,125 > 0,1, não satisfaz (P de pontuar = 0,875 < 0,9).
3. Testo n = 4: (1/2)⁴ = 1/16 = 0,0625. Como 0,0625 ≤ 0,1, satisfaz (P de pontuar = 1 − 0,0625 = 0,9375 ≥ 0,9).
4. Como n = 3 falha e n = 4 cumpre, o mínimo é n = 4 → B.

Passo 5 — Análise

A) 2 ❌ (1/2)² = 1/4 → P de pontuar = 0,75 < 0,9.

B) 4 ✅ (1/2)⁴ = 1/16 → P de pontuar = 0,9375 ≥ 0,9; e n=3 ainda falha, logo 4 é o mínimo.

C) 6 ❌ Satisfaz a condição, mas não é o mínimo (4 já basta).

D) 9 ❌ Muito acima do necessário.

E) 10 ❌ Igual ao denominador da meta, mas não é o mínimo.

Gabarito: B

Passo 6 — Dica

• Padrão: "pelo menos um" → use o complementar (1 − P(nenhum)).
• Dica rápida: com p = 1/2, P(errar todos) = (1/2)ⁿ; teste n crescente até cair abaixo do limite.
• Conexões: probabilidade; evento complementar; independência.