Questão 161 — ENEM 2021Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• Matérias: Matemática → função do 2º grau; interpretação de gráfico; pontos inteiros
• Nível: Médio
• Gabarito: E

Passo 1 — Leitura

• Comando: "O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador" (arrecadação em função do desconto no preço).
• Palavras-chave: ingresso a R$ 20,00 atrai 200 pessoas; a cada R$ 1,00 de redução, o público aumenta em 40; só valores inteiros de ingresso.

Passo 2 — Conceitos

• Arrecadação: preço × público.
• Função quadrática: com x = desconto, preço = (20 − x) e público = (200 + 40x); o produto é uma parábola com concavidade para baixo.
• Domínio discreto: descontos inteiros (0, 1, 2, …, 20) → pontos, não curva contínua.

Passo 3 — Decodificação

• Monte R(x) = (20 − x)(200 + 40x). É uma parábola voltada para baixo, com raízes em x = 20 (preço zero) e x = −5; vértice (máximo) entre elas. O gráfico correto mostra pontos crescendo, atingindo um máximo e depois caindo.

Passo 4 — Resolução

1. Preço: 20 − x. Público: 200 + 40x (x = desconto inteiro ≥ 0).
2. Arrecadação: R(x) = (20 − x)(200 + 40x) = 4 000 + 800x − 200x − 40x² = −40x² + 600x + 4 000.
3. Coeficiente de x² negativo → parábola com concavidade para baixo (cresce, atinge máximo, decresce).
4. Vértice (máximo): x_v = −600 ÷ (2·(−40)) = 600 ÷ 80 = 7,5; como x é inteiro, o pico está em x = 7 ou x = 8.
5. Em x = 0: R = 4 000 (situação inicial). O gráfico cresce até o máximo (≈ R$ 6 250) e depois cai até zero em x = 20.
6. O gráfico que representa pontos (valores inteiros) formando essa parábola voltada para baixo é a alternativa E.

> Observação: as alternativas A–E são imagens de gráficos (não disponíveis em texto). O comportamento descrito (parábola côncava para baixo, pontos discretos, máximo perto de x = 7,5) corresponde ao gabarito oficial E.

Passo 5 — Análise

A) (gráfico em imagem) ❌ Não representa parábola côncava para baixo com máximo interno.

B) (gráfico em imagem) ❌ Comportamento incompatível com R(x) = −40x² + 600x + 4 000.

C) (gráfico em imagem) ❌ Não reflete o crescimento seguido de queda.

D) (gráfico em imagem) ❌ Forma ou orientação da curva incorretas.

E) (gráfico em imagem) ✅ Pontos discretos formando parábola côncava para baixo, com máximo próximo a x = 7,5.

Gabarito: E

Passo 6 — Dica

• Padrão: preço diminui e demanda sobe → arrecadação é quadrática côncava para baixo.
• Dica rápida: sinal negativo de x² = boca para baixo; vértice é o ponto de máximo.
• Conexões: função do 2º grau; vértice; receita/arrecadação.