Mapa de questões · 2º dia
Questão 172 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia
No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Cone; geratriz; teorema de Pitágoras
- ⚡ Nível: Difícil — relacionar o comprimento total das mangueiras à geratriz do cone
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Aplicar Pitágoras à geratriz de um cone
- 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual o raio da circunferência, se 20 mangueiras iguais (total 100 m) vão do topo (3 m) até o chão?"
- Palavras-chave decisivas: altura 3 m (topo), 20 mangueiras iguais, total 100 m, cada mangueira = geratriz do cone
- Armadilha típica: Confundir a geratriz (hipotenusa) com o raio ou a altura
- O que a resposta precisa demonstrar: Cada mangueira = 100/20 = 5 m = geratriz; g² = h² + r² → r
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Comprimento de cada mangueira: 100 m ÷ 20 = 5 m (geratriz g)
- Geratriz do cone: g² = h² + r² (h = altura, r = raio)
- Cálculo: 5² = 3² + r² → r² = 25 − 9 = 16 → r = 4
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "20 mangueiras iguais, total 100 m" → cada uma mede 5 m (geratriz)
- Evidência 2: "topo a 3 m de altura até o chão" → h = 3 m
- Síntese: g = 5, h = 3 → r = √(25 − 9) = 4 m
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Comprimento de cada mangueira
100 m ÷ 20 = 5 m = geratriz (g).
Subpasso 4.2 — Aplicar Pitágoras
g² = h² + r² → 5² = 3² + r² → 25 = 9 + r² → r² = 16.
Subpasso 4.3 — Raio
r = √16 = 4 m → alternativa A.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) 4,00. ✅ Correta: r = √(5² − 3²) = √16 = 4 m.
B) 4,87. ❌ Incorreta: não corresponde a √(25 − 9).
C) 5,00. ❌ Incorreta: é a geratriz (mangueira), não o raio.
D) 5,83. ❌ Incorreta: seria √(25 + 9), somando em vez de subtrair.
E) 6,26. ❌ Incorreta: valor sem correspondência com o cálculo.
🏆 Gabarito: A — Cada mangueira (geratriz) mede 5 m; r = √(5² − 3²) = 4 m.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: g = 5, h = 3 → r = 4 (A).
- Padrão de cobrança: o ENEM cobra a relação geratriz-altura-raio do cone (Pitágoras).
- Generalização: no cone, g² = h² + r² (a geratriz é a hipotenusa).
- Dica de eliminação rápida: a geratriz (5 m) é a pegadinha C; o raio é √(g² − h²).
- Conexões com outros temas: teorema de Pitágoras; cone; comprimento e circunferência.
> 📸 Observação: a questão traz as figuras do cone/árvore. A resolução usa h = 3 m e a geratriz de 5 m calculada do texto.
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