Mapa de questões · 2º dia
Questão 158 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia
Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( → ) ou para cima ( ↑ ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise combinatória; contagem de caminhos em malha; princípio da exclusão
- ⚡ Nível: Difícil — contar caminhos de A a B evitando o ponto C
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Contar trajetos em malha com restrição
- 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Quantos caminhos de A até B (só → e ↑) NÃO passam por C?"
- Palavras-chave decisivas: deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), de A até B, sem passar por C
- Armadilha típica: Esquecer de descontar os caminhos que passam por C
- O que a resposta precisa demonstrar: (caminhos A→B) − (caminhos A→B que passam por C)
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Caminhos em malha: o número de trajetos de um ponto a outro (só → e ↑) é uma combinação (arranjos de passos)
- Passar por C: caminhos A→B por C = (caminhos A→C) × (caminhos C→B)
- Exclusão: caminhos válidos = total (A→B) − (que passam por C)
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "só → e ↑" → cada caminho é uma sequência de passos (combinação)
- Evidência 2: "sem passar por C" → subtrair os que passam por C
- Síntese: total de caminhos A→B menos os que cruzam C = 17
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Contar todos os caminhos A→B
Conta-se o número de trajetos possíveis (combinação dos passos → e ↑ segundo a malha da figura).
Subpasso 4.2 — Contar os que passam por C
Multiplica-se (caminhos A→C) por (caminhos C→B).
Subpasso 4.3 — Subtrair (verificação)
Caminhos válidos = total − (por C) = 17 → alternativa C (gabarito oficial).
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
As alternativas são números de caminhos. O critério é (A→B) − (por C):
- Valores que correspondem apenas ao total (sem descontar C) → incorretos.
- Valores que descontam demais → incorretos.
- ✅ A alternativa C (17) é o número de caminhos de A a B que não passam por C.
🏆 Gabarito: C — Descontando os caminhos que passam por C, restam 17 trajetos de A a B.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: total A→B menos os que cruzam C = 17 (C).
- Padrão de cobrança: o ENEM cobra contagem de caminhos em malha com restrição.
- Generalização: caminhos por um ponto = (chegar ao ponto) × (sair do ponto); use exclusão para "evitar".
- Dica de eliminação rápida: sempre subtraia os caminhos proibidos do total.
- Conexões com outros temas: combinações; princípio multiplicativo; princípio da inclusão-exclusão.
> 📸 Observação: a contagem depende da malha e das posições de A, B e C na figura. A resolução aplica a exclusão de C e o gabarito oficial (17); recomenda-se conferir a figura original.
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