Mapa de questões · 2º dia
Questão 149 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia
A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por f = A/rB
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B.
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é:
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos; propriedades (log de produto/quociente/potência); função afim
- ⚡ Nível: Difícil — transformar a lei de potência em uma relação linear entre Y = log f e X = log r
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Linearizar uma lei de potência com logaritmos
- 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual a relação entre Y = log f e X = log r, se f = A/r^B?"
- Palavras-chave decisivas: f = A/r^B, X = log r, Y = log f, A e B constantes positivas
- Armadilha típica: Esquecer que log de quociente/potência gera uma função afim (reta) em X e Y
- O que a resposta precisa demonstrar: Aplicar log em ambos os lados e obter Y = log A − B·X
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Propriedades do log: log(A/r^B) = log A − log r^B = log A − B·log r
- Substituição: com X = log r e Y = log f → Y = log A − B·X
- Forma linear (afim): Y = (−B)·X + log A, uma reta de coeficiente angular −B
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "f = A/r^B" → aplicar logaritmo dos dois lados
- Evidência 2: "X = log r, Y = log f" → substituir para linearizar
- Síntese: Y = log A − B·X (relação linear/afim)
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Aplicar logaritmo
log f = log(A/r^B) = log A − B·log r.
Subpasso 4.2 — Substituir X e Y
Como Y = log f e X = log r: Y = log A − B·X.
Subpasso 4.3 — Verificação
A relação é linear (afim): Y = −B·X + log A → alternativa A (gabarito oficial).
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
As alternativas trazem possíveis relações entre Y e X. O critério:
- Relações não lineares (ex.: Y = A·X^B, exponenciais) → incorretas: a linearização com log torna a relação afim.
- Relações com sinal errado do coeficiente (B positivo em X) → incorretas: o expoente −B gera coeficiente angular negativo.
- ✅ A alternativa A apresenta a relação linear Y = log A − B·X (reta decrescente), resultado de aplicar log à lei de potência.
🏆 Gabarito: A — Aplicando log, Y = log A − B·X (relação linear entre Y e X).
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: log dos dois lados → Y = log A − B·X (A).
- Padrão de cobrança: o ENEM cobra linearização de leis de potência com logaritmos.
- Generalização: y = a·x^n vira log y = log a + n·log x (reta em escala log-log).
- Dica de eliminação rápida: a relação correta é uma RETA (afim) em X e Y; descarte as não lineares.
- Conexões com outros temas: funções afim; propriedades dos logaritmos; escalas logarítmicas.
> 📸 Observação: as alternativas (equações) não foram importadas como texto. A resolução deduz Y = log A − B·X e usa o gabarito oficial; recomenda-se conferir as expressões originais.
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