Mapa de questões · 2º dia
Questão 155 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia
O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão geométrica; termo geral
- ⚡ Nível: Médio — reconhecer a PG dos lados e achar o 100º termo
- 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Aplicar o termo geral de uma progressão geométrica
- 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Qual o lado do 100º quadrado, se cada lado é a metade do anterior (1º lado = 1)?"
- Palavras-chave decisivas: quadrado inicial lado 1, cada novo lado = metade da base anterior, 100º quadrado
- Armadilha típica: Errar o expoente (usar 100 em vez de 99) no termo geral
- O que a resposta precisa demonstrar: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, com a₁ = 1 e q = 1/2
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- PG dos lados: 1, 1/2, 1/4, ... com razão q = 1/2
- Termo geral: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
- 100º termo: a₁₀₀ = 1 · (1/2)⁹⁹
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "lado da metade da base anterior" → razão q = 1/2
- Evidência 2: "1º quadrado lado 1" → a₁ = 1
- Síntese: a₁₀₀ = (1/2)⁹⁹
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Identificar a PG
Lados: 1, 1/2, 1/4, ... → PG de razão 1/2.
Subpasso 4.2 — Aplicar o termo geral
aₙ = 1 · (1/2)ⁿ⁻¹.
Subpasso 4.3 — Calcular o 100º termo
a₁₀₀ = (1/2)¹⁰⁰⁻¹ = (1/2)⁹⁹ → alternativa B.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) (1/2)¹⁰⁰. ❌ Incorreta: usaria expoente 100 (erro no n−1).
B) (1/2)⁹⁹. ✅ Correta: a₁₀₀ = (1/2)¹⁰⁰⁻¹ = (1/2)⁹⁹.
C) (1/2)⁹⁷. ❌ Incorreta: expoente incorreto.
D) (1/2)⁻⁹⁸. ❌ Incorreta: expoente negativo (o lado diminui, não cresce).
E) (1/2)⁻⁹⁹. ❌ Incorreta: expoente negativo, incompatível com lados decrescentes.
🏆 Gabarito: B — Com a₁ = 1 e razão 1/2, o 100º lado é (1/2)⁹⁹.
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ → a₁₀₀ = (1/2)⁹⁹ (B).
- Padrão de cobrança: o ENEM cobra o termo geral de PG (atenção ao expoente n−1).
- Generalização: no n-ésimo termo, o expoente da razão é (n−1).
- Dica de eliminação rápida: o 100º termo tem expoente 99; expoentes negativos são descartados (lado diminui).
- Conexões com outros temas: progressões geométricas; potências; fractais.
> 📸 Observação: a questão traz a figura da sequência de quadrados. A resolução usa a PG descrita (razão 1/2).
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