Questão 163 — ENEM 2020Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Permutações; anagramas; permutação com repetição
• ⚡ Nível: Difícil — contar anagramas de "I AM POTTER" com vogais e consoantes intercaladas
• 🎯 Tema/Habilidade BNCC: Aplicar o princípio multiplicativo e permutações com repetição
• 🏆 Gabarito: revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos anagramas de I AM POTTER têm vogais e consoantes sempre intercaladas?"
• Palavras-chave decisivas: I AM POTTER, vogais e consoantes intercaladas, letra T repetida
• Armadilha típica: Esquecer que há duas posições possíveis de intercalação, ou não dividir pela repetição do T
• O que a resposta precisa demonstrar: 5 consoantes (com T repetido) e 4 vogais → padrão C V C V C V C V C

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Letras: vogais I, A, O, E (4); consoantes M, P, T, T, R (5, com T repetido)
• Intercalação com 5 consoantes e 4 vogais: só cabe o padrão C V C V C V C V C (começa e termina com consoante)
• Contagem: consoantes = 5!/2! (T repete); vogais = 4! → total = (5!/2!) × 4! = 4!·5!/2

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "vogais e consoantes intercaladas" → alternância obrigatória
• Evidência 2: 5 consoantes × 4 vogais → único padrão: C V C V C V C V C
• Síntese: total = 4! · 5! / 2 (dividido por 2 pela repetição do T)

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Definir o padrão

Com 5 consoantes e 4 vogais, a única alternância possível é C V C V C V C V C.

Subpasso 4.2 — Contar cada grupo

Consoantes nas 5 posições: 5!/2! (T repetido). Vogais nas 4 posições: 4!.

Subpasso 4.3 — Multiplicar (verificação)

Total = (5!/2!) × 4! = 4! · 5! / 2 = (120/2) × 24 = 60 × 24 = 1 440 → alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 9! ❌ Incorreta: conta todas as permutações sem restrição nem repetição.

B) 4! 5! ❌ Incorreta: não divide pela repetição do T (contaria em dobro).

C) 2 × 4! 5! ❌ Incorreta: supõe duas intercalações possíveis (não há) e ignora a repetição.

D) 9!/2 ❌ Incorreta: trata a repetição, mas ignora a restrição de intercalação.

E) 4! 5!/2 ✅ Correta: (5!/2!)·4! = 4!·5!/2 = 1 440, respeitando intercalação e o T repetido.

🏆 Gabarito: E — O número de anagramas é 4!·5!/2 = 1 440.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: (5!/2!)×4! = 4!5!/2 (E).
• Padrão de cobrança: o ENEM combina permutação com repetição + restrição de posição.
• Generalização: letras repetidas dividem o total pelo fatorial das repetições.
• Dica de eliminação rápida: há repetição (T) → a resposta deve ter "/2"; a intercalação é única (5 e 4).
• Conexões com outros temas: permutações; princípio multiplicativo; anagramas.